Задача № 3.

Дослідити функцію на неперервність і побудувати її гра­фік: 3.1.

3.2.

3. ЗАВДАННЯ ТЕМИ 2 49

3.3.

3.4.

3.5.

3.6.

3.7.

3.8.

3.9.

50 2. ТЕМА №2

3. ЗАВДАННЯ ТЕМИ 2 51

52 2. ТЕМА №2

3. ЗАВДАННЯ ТЕМИ 2 53

Задача № 4.

Знайти похіднідля функцій, заданих в пунктах а), б), в), г), д) і похіднудля функції, заданої в пункті е).

54 2. ТЕМА №2

3. ЗАВДАННЯ ТЕМИ 2 55

56 2. ТЕМА №2

і

'■

3. ЗАВДАННЯ ТЕМИ 2 57

58 2. ТЕМА №2

3. ЗАВДАННЯ ТЕМИ 2 59

Задача № 5.

Знайти границі за правилом Лопіталя.

5.1.

а)*

60 2. ТЕМА №2

3. ЗАВДАННЯ ТЕМИ 2 61

62 2..TEMA №:2

3. ЗАВДАННЯ ТЕМИ 2 63

!

64 2. ТЕМА №2

5.30.

Задача № 6.

Дослідити методами диференціального числення функ­цію і побудувати її графік.

3. Завдання теми 2 65

/

--^

і ■

} - . '

f

І '

І

ТЕМА № З

Функції декількох змінних.

Інтегральне числення функцій

однієї змінної

Література: [1]КнД; [2]Кн.1; [3]Ч.1; [4]; [5]Кн.2,3.

1. Теоретичні питання

Поняття функції декількох змінних. Область визначен­ня. Границя. Неперервність.

Частинні похідні. Похідна в напрямку і градієнт. По­вний диференціал. Застосування повного диференціала до наближених обчислень. Диференціювання складної функ­ції. Дотична площина та нормаль до поверхні. Геометрич­ний зміст повного диференціала.

Частинні похідні та повні диференціали вищих поряд­ків. Формула Тейлора та її застосування.

Екстремум функції декількох змінних. Необхідна та достатні умови екстремума. Метод найменших квадратів. Умовний екстремум. Метод множників Лагранжа. Най­більше та найменше значення функції декількох змінних на обмеженій замкненій множині.

Первісна. Невизначений інтеграл і його властивості. Таблиця основних інтегралів. Безпосереднє інтегрування.

66

2. ПРИКЛАДИ 67

Інтегрування частинами і підстановкою. Комплексні числа. Теорія многочлена п-го степеня. Найпростіші раціональні дроби та інтегрування дробово-раціональних функцій. Ін­тегрування деяких ірраціональних виразів. Інтегрування виразів, які містять тригонометричні функції.

Визначений інтеграл як границя інтегральних сум. Ос­новні властивості визначеного інтеграла- Формула Ньютона-Лейбніца. Заміна змінної та інтегрування частинами у ви­значеному інтегралі. Наближене обчислення визначеного ін­тегралу.

Невласні інтеграли.

Застосування визначених інтегралів до обчислення площ плоских фігур, довжин дуг кривих, об'ємів тіл і площ по­верхонь обертання. Фізичні застосування визначеного ін­теграла,.

2. Приклади

ПРИКЛАД І. Перевірити, чи функція и задовольняє вказане рівняння

Розв'язок.

Знаходимо частинні похідні першого та другого поряд-

ку:

68 3. ТЕМА №3

Рисунок 3.1

Підставимо одержані значення похідних в ліву і праву частини заданого рівняння

Порівнюючи результати, бачимо, що задана функція задо­вольняє задане рівняння.

ПРИКЛАД 2. Знайти найбільше і найменше значення фун­кціїв області, обмеженій прямими: х = 0,у = 0,х + у + 5 = 0 (рис.3.1).

Розв'язок. 1) Знайдемо стаціонарні точки даної функції

З системи рівнянь

і

одержуємо стаціонарну точку (—2; —1).

Обчислимо z{—2;— 1) = —3.

2) Дослідимо функцію z на границях області

2. ПРИКЛАДИ 69

а) При у = 0 маємо Знайдемо значення цієї функції в стаціонарній точці і на кінцях відрізка [—5; 0]. Маємопри і

б) При Маємо при,

г(0;0) = 1.

в) Нехай х+у+5 — 0, тобто у = —х—Ь і Маємопри г(-5;0) = 11, 2(0;-5) =41.

Порівнюючи всі знайдені значення функції, робимо ви­сновок, що

ПРИКЛАД 3. Знайти невизначені інтеграли

70 ТЕМА №3

г) Розкладемо підінтегральний дріб не найпростіші

Отже,

Взявши х = 1,одержимо 1 = 2С, С — Взявши х = 0, одержимо 0 = — В + С, В =. Прирівнюючи коефіцієнти при х², одержимо 0 = А + С, А = — Таким чином,

ПРИКЛАД 4. Обчислити невласний інтеграл або встановити його розбіжність

2. ПРИКЛАДИ 71

Рису нок 3.2 Розв'зок.

ПРИКЛАД 5. Обчислити площу фігури обмеженої лініями, заданими рівняннями: у = х, у = 2 — х² (рис.3.2).

Розв'язок.

Знайдемо абсциси точок перетину прямої у = х з пара­болою . Розв'язуючи систему рівнянь

одеркимо х₁ = —2, х² = 1. Це і є межі інтегрування. Тоді

72 3. ТЕМА №3

3. Завдання теми З

Задача № 1.

Перевірити, чи функція и задовольняє вказане рівнян­ня.

3. ЗАВДАННЯ ТЕМИ 3 73

74 3. ТЕМА №3

Задача № 2.

Знайти найбільше і найменше значення функції z = z(x; у) в області G, обмеженій заданими лініями.

3. ЗАВДАННЯ ТЕМИ 3 75

76 3. ТЕМА №3

Задача № 3.

Знайти невизначені інтеграли.

3. ЗАВДАННЯ ТЕМИ 3 77

І

78 3. ТЕМА №3

\ І

3. ЗАВДАННЯ ТЕМИ 3 79

80 3. ТЕМА №3