3. Завдання теми 6 Задача № 1.

Дослідити на збіжність ряди:

136 6. ТЕМА №6

3. ЗАВДАННЯ ТЕМИ 6 137

138 6. ТЕМА №6

3. ЗАВДАННЯ ТЕМИ 6 139

140 6. ТЕМА №6

3. ЗАВДАННЯ ТЕМИ 6 141

Задача № 2.

Знайти область збіжності функціональних рядів

142 6. ТЕМА №6

3. ЗАВДАННЯ ТЕМИ 6 143

144 6.ТЕМА №6

Задача № 3.

В пункті а) обчислити визначений інтеграл: з точністю до 0,001, розклавши підінтегральну функцію в степеневий ряд, а потім проінтегрувавши його почленно; в пункті б) знайти три перших відмінних від нуля, члени розкладу в степеневий ряд розв'язку задачі Коші.

3. ЗАВДАННЯ ТЕМИ 6 145

146 6. ТЕМА №6

3. ЗАВДАННЯ ТЕМИ 6 147

148 6. ТЕМА №6

Задача №4.

Розкласти періодичну з періодом ,2/ функціюв ряд

Фур'є. 4.1.

4.2.

3. ЗАВДАННЯ ТЕМИ 6 149

150 6. ТЕМА №6

3. ЗАВДАННЯ ТЕМИ 6 151

ТЕМА №7

Теорія функцій комплексної змінної.

Операційне числення

Література: [1]Кн.2; [2]Ч.2; [3]Ч.1,2; [4]; [11].

1. Теоретичні питання

Функція комплексної змінної. Границя послідовності ком­плексних чисел і границя функції. Неперервність. Основні елементарні функції комплексної змінної.

Похідна. Умови Коші-Рімана. Аналітична функція. Ге­ометричний зміст модуля і аргументу похідної функції ком­плексної змінної. Поняття про конформне відображення.

Інтеграл від функції комплексної змінної. Теорема Ко­ші. Інтегральна формула Коші.

Функціональні ряди, збіжність, рівномірна збіжність. Степеневий ряд. Теорема Тейлора. Ряд Лорана. Теорема Лорана. Ізольовані особливі точки, їх класифікація.

Лишки. Основна теорема про лишки. Застосування лишків до обчислення інтегралів.

Перетворення Лапласа. Існування перетворення Лапла­са. Властивості перетворення Лапласа: Властивість ліній­ності, теореми подібності, зміщення, запізнення. Диферен­ціювання оригіналу і зображення. Інтегрування оригіналу і

152

2. ПРИКЛАДИ 153

зображення. Інтеграл Дюамеля. Методи пошуку оригіналу за його зображенням. Розв'язування лінійних диференці­альних рівнянь і систем рівнянь з сталими коефіцієнтами.

2. Приклади

ПРИКЛАД 1. Знайти аналітичну функціюза відо-

мою її дійсною частиноюcosy при умові, що

Розв'язок. Маємо За першою з умов

Коші-Рімана повинно бутиі, отже,

Звідси" Проди

ференціюємопо х і використаємо другу з умов Коші-

Рімана одержимо

І ПРИКЛАД 2. Обчислити інтеграл-відрізок

прямої,

Розв'язок. Виділяємо дійсну і уявну частини інтеграла

154 7. ТЕМА №7

За умовою А(0,0), В(l,2) і тому Отже,

ПРИКЛАД 3. Знайти всі лоранівські розклади за степенями функції

Розв'язок. Аналітичність функціі порушується в точ­ках

Відстані цих точок до zq дорівнюють:

Кільцеподібними областями з цетром в точці z_0'= 3 — 2і є

Функціюрозкладаємо на елементарні дроби:

1. Знайдемо розкладв крузі_L

2. ПРИКЛАДИ 155

2)

Знайдемо розклад в кільці Одержаний в 1) ряд для функціізалишається збіжним в кільці, а для

зробимо перетворення

Знайдемо розклад в Δ₃. Без зміни залишаємо одержаний в 2) розклад; розісладодержуємо аналогічно до попереднього

156 7. ТЕМА №7

Приклад 4. Обчислити інтеграл

Розв'язок. В областіфункція аналі-

тична всюди, за винятком z = 0 і z — — 1. Тоді

Точка z = 0 є усувноюособливою точкою функції, бо

ТомуТочка— полюс першого порядку,

отже

Приклад 5. Операційним методом розв'язати в пункті а) диференціальне рівняння, яке задовольняє початковим умо­вамв пункті б) систему диференціаль­них рівнянь при початкових умовах

Розв'язок

Операторне рівняння має вигляд

2. ПРИКЛАДИ 157

Звідси

Знаходимо оригінал Y(р). Оригінал функції

Для знаходження оригіналу функції _;використаємо,

наприклад, теорему про диференціювання зображення:

Одержимо операторну систему

Розв'язуючи систему, матимемо

158 7. ТЕМА №7