1. Теоретичні питання

Числові ряди. Збіжність і сума ряду. Залишок ряду. Необхідна умова збіжності. Достатні ознаки збіжності ря­дів з додатніми членами. Теорема Лейбніца. Абсолютно і умовно збіжні ряди. Властивості абсолютно збіжних рядів.

Функціональні ряди. Збіжність і рівномірна збіжність функціональних рядів. Теореми про неперервність суми функціональних рядів, про їх почленне інтегрування та ди­ференціювання.

Степеневі ряди. Теорема Абеля. Інтервал і радіус збіж­ності степенового ряду. Рівномірна збіжність степеневого ряду, неперервність його суми, почленне інтегрування та диференціювання степених рядів. Ряд Тейлора (Маклорена). Розклад в ряд Тейлора функцій е ^х, cos х, sin х, 1п(1 + х), (1 + х)^а, arctgx. Застосування степеневих рядів.

Ряди Фур'є, коефіцієнти Фур'є.

130

2. ПРИКЛАДИ 131

2. Приклади

ПРИКЛАД 1. Дослідити на збіжність ряди

Розв'язок.

а) Оскільки загальний член гармонічного ряду, що розбігається. Тому за ознакою порівняння заданий ряд також розбігається.

б) Маємо

Тому. Ряд збіжний за ознакою Даламбе-

ра.

Отже, за ознакою Коші даний ряд збіжний.

г) Замінимо в заданому виразі загального члена ряду номер п неперервною змінною і впевнюємося, що одержана функціяє неперервною і спадною на всьому нескінченному інтервалі зміни х. Оскільки невласний інтеграл

132 6. ТЕМА №6

збігається, то за інтегральною ознакою заданий ряд також збігається.

д) Оскільки

= 0. то виконані умови ознаки Лєйбніца. і заданий ряд збі­гається. Ряд з абсолютних величин членів даного ряду, тоб­то ряд, розбігається. Отже, ряд

збіга­ється умовно.

ПРИКЛАД 2. Знайти область збіжності функціональних ря­дів

Розв'язок.

а) Оскільки

то застосовуючи ознаку Коші, маємо

Отже, ряд збіжний, якщотобто при

Приодержимо знакопереміжний ряд

який збігається за ознакоюЛєйбніца.

Таким чином, область збіжності даного ряду — півін-тервал

Інтервал збіжності ряду — (—2; 2). Дослідимо збіжність ря­ду на краях цього інтервалу. При х = 2 і х = —2 степеневий

2. приклади 133

ряд набуде вигляду відповідно

Обидва ряди розбігаються (не виконується необхідна умова збіж­ності). Отже, область збіжності даного ряду:

ПРИКЛАД 3. В пункті а) обчислити визначений інтеграл з точністю до 0,001, розклавши підінтегральну функцію в степеневий ряд, а потім проінтегрувавши його почленно; в пункті 6) знайти три перших відмінних від нуля, члени розкладу в степеневий ряд розв'язку задачі Коші.

Розв'язок,

а) Степеневий ряд

що одержується із відомого розкладузаміною х на,

збігається при будь-яких значених х. Замінивши підінтегральну функцію її розкладом в ряд і інтегруючи, одержимо

134 6. ТЕМА №6

Ми одержали шуканий інтеграл у вигляді знакопереміжного ряду. Оскільки , а похибка за абсо-

лютною величиною менша ніж модуль першого з відкину­тих членів, то залишивши п'ять членів, матимемо з заданою точністю

б) Точка х = 1 не є особливою для даного рівняння, тому його розв'язок будемо шукати у вигляді ряду:

Знайдемо

Підставивши знайдені значення похідних в шуканий ряд, одержимо розв'язок заданого рів­няння

ПРИКЛАД 4. Розкласти періодичну з періодом 2 функцію

в ряд Фур'е.

Розв'язок. Обчислимо коефіцієнти Фур'є.

3. ЗАВДАННЯ ТЕМИ 6 135

Тобто

Отже, шуканий ряд Фур'є: