5.7 Оптимизация технологических процессов

Полученная тем или иным способом математическая модель показывает лишь зависимость параметра оптимизации от факторов. Конечной же целью любого планирования эксперимента является получение оптимального режима, позволяющего получить максимальный выход продукта при высоких качественных показателях и минимальной его себестоимости.

Поэтому следующим этапом после получения математической модели процесса является его оптимизация. Одним из наиболее распространенных методов является движение по градиенту, суть которого состоит в определении условий, при которых значение параметра оптимизации будет максимально близко к желаемому результату.

Оптимальный или наилучший вариант работы системы измеряется количественной мерой – критерием оптимальности. На основании выбранного критерия оптимальности устанавливается целевая функция, представляющая собой математическую модель процесса (уравнение регрессии).

Наиболее общей постановкой оптимальной задачи служит выражение критерия оптимальности в виде экономической оценки (производительность установки, себестоимость, рентабельность и т.д.). Однако в частных задачах оптимизации, когда система является частью технологического процесса, не всегда целесообразно выделять прямой экономический показатель. В таких случаях критерием оптимизации может служить технологическая характеристика, косвенно оценивающая экономичность процесса (производительность, выход продукта, его качественные показатели).

Найти оптимальный режим, это значит определить X₁и X₂, которые дают Y_max . Как это сделать?

а) Можно перебрать все сочетания значений X₁и X₂ и взять желаемый Y,но перебор слишком велик.

б) Случайный выбор некоторых сочетаний X₁ и X₂ до получения Y желаемого. Это тоже слишком длительно.

в) Разработать математическую модель процесса, чтобы с ее помощью рассчитать значения параметра оптимизации в тех точках, которые не изучались экспериментально.

Такая стратегия приводит к шаговому принципу, лежащему в основе методов оптимизации. Для того, чтобы быстро и правильно найти Y_max необходимо, чтобы поверхность отклика была непрерывной, гладкой и имела единственный оптимум.

Если мы знаем значение Y в нескольких точках факторного пространства, то можем в силу гладкости и непрерывности поверхности отклика представить результаты Y в соседних точках. Следовательно, можно найти такие точки, для которых ожидается наибольшее увеличение Y. Тогда следует эксперимент переносить в эту точку и продвигаться в этом направлении, пренебрегая остальными. В силу единственности оптимума, рано или поздно его достигнут. Это и есть шаговый принцип.

Рассмотрим методы поиска оптимума, использующие шаговый принцип.

5.7.1 Метод Гаусса-Зейделя

Метод заключается в поочерёдном нахождении частных экстремумов целевой функции по каждому фактору. При этом на каждом этапе стабилизируют (k-1) факторов и варьируют только один i-ый фактор

Порядок расчёта: в локальной области факторного пространства на основании предварительных опытов выбирают точку, соответствующую наилучшему результату процесса, и из неё начинают движение к оптимуму. Шаг движения по каждому фактору задаётся исследователем. Вначале фиксируют все факторы на одном уровне и изменяют один фактор до тех пор, пока будет увеличение (уменьшение) функции отклика (Y), затем изменяют другой фактор при стабилизации остальных и т. д. до тех пор пока не получат желаемый результат (Y). Главное правильно выбрать шаг движения по каждому фактору.

Этот способ наиболее прост, нагляден, но движение к оптимуму длительно и метод редко приводит в оптимальную точку. В настоящее время он иногда применяется при машинном эксперименте.