15

Содержание

Модуль 4

Раздел лекций 4

4 Методы регрессионного и корреляционного анализов……………………..2

4.1 Регрессионный анализ…………………………………………………….2

4.1.1 Основные термины и понятия………………………………………..2

4.1.2 Вид функции для математической модели…………………………...2

4.1.3 Метод наименьших квадратов………………………………………...3

4.1.4 Схемы регрессионного анализа……………………………………….6

4.2 Методы корреляционного анализа……………………………………….9

4.2.1 Метод парной корреляции…………………………………………….9

4.2.2 Метод множественной корреляции…………………………………..11

Контрольные вопросы…………………………………………………………..14

.

4 Методы регрессионного и корреляционного анализов

Лекция 5

а) Регрессионный анализ.

б) Основные термины и понятия.

в) Вид функции для математической модели.

г) Метод наименьших квадратов.

д) Схемы регрессионного анализа.

4.1 Регрессионный анализ

Основная задача регрессионного анализа сводится к получению математической модели процесса, проверке адекватности полученной модели и оценке влияния каждого фактора на процесс.

Математическая модель процесса может быть получена на основании результатов как пассивного, так и активного экспериментов.

В данном курсе рассматриваются методы, использующие принцип “чёрного ящика”.

4.1.1 Основные термины и понятия

Математическая модель процесса – функция, связывающая параметры, характеризующие результаты экспериментов с факторами. В простейшем случае это уравнение регрессии.

Параметры, характеризующие результаты эксперимента называются параметрами оптимизации, функцией отклика, выходными величинами.

Величины, характеризующие условия эксперимента называются факторами, независимыми переменными, входными величинами.

Поверхность, являющаяся геометрическим обзором процесса называется поверхностью отклика.

Координатное пространство, на осях которого откладывают значения исследуемых факторов, называют факторным пространством.

Возможность получения математической модели методом регрессионного анализа определяется следующими условиями (предпосылками):

1. точность, с которой задаются независимые переменные x_i, не являющиеся случайными, должна быть высокой. К точности измерения параметра оптимизации (у) предъявляют менее жёсткие требования;

2. каждая из независимых переменных не должна являться линейной комбинацией остальных независимых переменных;

3. интервал между значениями факторов в соседних точках не должен быть меньшим или равным ошибке, с которой задаются этим интервалом;

4. значения функции отклика в точках факторного пространства должны определяться независимо друг от друга;

5. в исследуемом интервале изменения факторов дисперсии должны быть однородными.

4.1.2 Вид функции для математической модели.

Для определения вида функции обычно пользуются тем, что большинство функций, с которыми приходится иметь дело на практике, можно разложить в ряд Тейлора (степенной ряд). Если ограничиться несколькими первыми членами ряда, получится представление функции многочленом (полиномом). Этот многочлен и можно принять за приближённое выражение неизвестной функции.

Качество приближения определяется величиной остатка ряда, то есть той части, которую при этом отбрасывают. Для того, чтобы принятый многочлен удовлетворительно описывал технологический процесс, необходимо, чтобы отбрасываемый остаток был невелик по сравнению с “шумами”. Это так называемые эмпирические модели. В данном курсе мы будем разрабатывать именно такие математические модели. В общем виде степенной ряд выглядит следующим образом:

, (4.1)

На первом этапе у исследователя возникает вопрос, какой степени полином взять для математической модели. Поступают следующим образом:

1. предполагают, что моделируемый процесс можно описать полиномом первой степени. И тогда принимают уравнение регрессии (например, для 2-х факторной модели):

У = b₀ + b₁x₁ + b₂x₂, (4.2)

2. проверяется адекватность полученной модели, вычислив предварительно коэффициенты b_i, и если оно адекватно, значит удалось описать процесс уравнением первого порядка. В случае неадекватности следует взять полином более высокого порядка, то есть был отброшен слишком большой остаток степенного ряда.

Уравнение второго порядка для 2-х факторов выглядит следующим образом:

Y = b₀ + b₁x₁ + b₂x₂ + b₁₂x₁x₂ + b₁₁x₁² + b₂₂x₂², (4.3)

Аналогичный процесс повторяется до тех пор, пока не получат адекватную модель. По мере роста порядка многочлена точность описания процесса возрастает, но одновременно усложняется интерпретация (анализ) результатов расчёта.

Для того чтобы вычислить коэффициенты уравнения регрессии b_i существуют несколько способов. Наиболее простой и потому наиболее часто используемый на практике – метод наименьших квадратов.