4.1.4 Схемы регрессионного анализа

После вычисления коэффициентов уравнения регрессии b_i приводят статистическую обработку результатов (регрессионный анализ).

В зависимости от наличия сведений о дисперсии воспроизводимости параметра оптимизации (S²_воспр) регрессионный анализ проводят по различным схемам.

Первая схема регрессионного анализа проводится при наличии параллельных опытов, то есть каждый эксперимент проводится не менее, чем два раза – опыты дублируются.

Первая схема регрессионного анализа проводится в следующем порядке:

1. Вычисляют построчные (частные) математические ожидания (y_i ):

(4.13)

где y_i – экспериментальные значения у параллельных опытов;

m – количество параллельных опытов.

2. Вычисляют построчные дисперсии (S_i²):

, (4.14)

3. Проверяют однородность дисперсий:

При одинаковом количестве опытов по критерию Кохрена (G_р).

(4.15)

где S_max² – максимальная построчная дисперсия;

n – количество опытов в матрице.

Полученное G_р сравнивают с табличным (G_табл). Если G_р< G_табл – дисперсии однородны и можно продолжить расчёт дальше. В противном случае дисперсии неоднородны и необходимо эксперимент, соответствующий максимальной дисперсии, провести более точно заново, а затем повторить проверку однородности дисперсий.

4. Вычисляют общую дисперсию воспроизводимости (S²_воспр)

, (4.16)

при степени свободы f_воспр=(m-1)n.

5. Проверяют значимость коэффициентов уравнения регрессии по критерию Стьюдента (t_р):

(4.17)

где S_bi² – дисперсия коэффициента b_i.

Если t_р>t_табл при =0,05 и f=f_воспр, то коэффициент b_i значимо отличается от нуля, то есть фактор, соответствующий этому коэффициенту оказывает существенное влияние на процесс. В противном случае коэффициент b_i незначим, фактор, соответствующий ему, влияния на процесс не оказывает и из уравнения исключается.

Дисперсия коэффициента b_i определяется по закону накопления ошибок:

, (4.18)

Если выборочные дисперсии однородны, получим:

(4.19)

, (4.20)

Оставшиеся, значимые коэффициенты b_i пересчитывают заново, поскольку матрица не ортогональна и коэффициенты b_i закоррелированы друг с другом.

6. Проверяют адекватность уравнения регрессии.

Адекватность – соответствие полученной математической модели реальному процессу.

Проверку проводят по критерию Фишера (F_р).

(4.21)

где S_ад² – дисперсия адекватности.

(4.22)

где – расчётный параметр оптимизации;

L– количество значимых коэффициентов b_i.

Полученный F_р сравнивают с F_табл. Если F_р<F_табл – уравнение адекватно. В противном случае уравнение неадекватно и следует перейти к планам более высокого порядка.

Критерий Фишера находят по таблицам по степеням свободы числителя (f_ч) и знаменателя (f_з).

f_ч=(n-L);

f_з=n(m-1).

Вторая схема регрессионного анализа применяется при отсутствии информации о дисперсии воспроизводимости, то есть отсутствии параллельных опытов, и проводится в следующем порядке:

1. Рассчитывают математическое ожидание столбца y_i:

(4.23)

2. Рассчитывают дисперсию столбца y_i:

, (4.24)

3. Проверку значимости коэффициентов b_i аналогично первой схеме провести невозможно, так как отсутствует S²_воспр. Поэтому существенность влияния факторов определяют методом парной корреляции (см. метод ПК).

4. Проверку адекватности уравнения регрессии произвести невозможно, так как отсутствует дисперсия воспроизводимости. В этом случае можно оценить качество аппроксимации принятым уравнением, сравнив остаточную дисперсию (S ² _ост) и выборочную дисперсию (S ² _y).

Вычисляют дисперсионное отношение (с):

(4.25)

где S²_ост – остаточная дисперсия (S²_ост=S²_воспр+S²_ад),

и сравнивают его с критерием Фишера. Если с>F_табл – качество описания процесса полученным уравнением хорошее, и чем больше значение с превышает F_табл, тем эффективнее уравнение регрессии. В этом случае критерий Фишера показывает, во сколько раз уменьшается рассеяние относительно полученного уравнения регрессии по сравнению с рассеянием относительно среднего ().

F_табл находят по степени свободы числителя f_ч=(n-L) и степени свободы знаменателя f_з=(n-l).