4.2.2 Метод множественной корреляции.

Метод множественной корреляции дает возможность получить многофакторную математическую модель технологического процесса.

В простейшем случае это уравнение регрессии первого порядка:

У = в₀ + в₁х₁ + в₂х₂ +....+ в_кх_к., (4.28)

Обычно исходными данными являются результаты “пассивного” эксперимента, которые представляют в виде матрицы.

Таблица 4.2 Матрица результатов экспериментов

n	х1	х2	х3	. . . . . . .	хк	У
1	х11	х21	х31		хк1	у1
2	х12	х22	х32		хк2	у2
3	х13	х23	х33		хк3	у3
...	...	...	...		...	...
n	х1n	х2n	х3n		хкn	уn

Расчеты проводят в следующей последовательности:

1. Перевод исходных данных от натурального вида к нормированному по формулам:

, , (4.29)

где х_ij⁰, у⁰-нормированные значения соответствующих факторов и параметров оптимизации;

-математические ожидания соответствующих величин;

s_у,s_xi- среднеквадратичные отклонения переменных.

s_y=, s_xi=, (4.30)

2. Вычисление коэффициентов парной корреляции.

Для нормированных величин имеем:

, , ,

Поэтому выборочный коэффициент парной корреляции при этом вычисляют по формуле:

, , (4.31)

Вычисленные по этой формуле коэффициенты корреляции равны коэффициентам корреляции между переменными в натуральном виде.

3. Проверяют существенность влияния факторов на процесс и их закоррелированность методом парной корреляции ( см. 6.1)предыдущую тему ).

Незначимые и закоррелированные факторы из расчетов исключаются.

4. Уравнение регрессии получаем в нормированном виде , т.к. исходные данные переведены в нормированный вид . Это делается для упрощения расчетов.

Уравнение регрессии в нормированном виде не имеет свободного члена в₀ и принимает вид:

у⁰=а₁х₁⁰+а₂х₂⁰+....+а_кх_к⁰, (4.32)

Коэффициенты уравнения регрессии а_i находят методом наименьших квадратов ( см. тему метод наименьших квадратов).

Система нормальных уравнений имеет вид :

, (4.33)

Умножим левую и правую части системы уравнений на 1/(n-1). В результате при каждом коэффициенте а_i получается коэффициент парной корреляции.

Принимая во внимание, что

,

получаем систему уравнений в виде:

(4.34)

Решая полученную систему получаем коэффициенты уравнения регрессии в нормированном виде а_{i .}Перевод уравнения в натуральный вид производят по формулам:

, , (4.35)

Математическая модель будет выражаться следующим уравнением:

y=b₀+b₁x₁+b₂x₂+....+b_kx_k, (4.36)

5. Вычисляют коэффициент множественной корреляции (R).

R=, (4.37)

Коэффициент множественной корреляции показывает силу линейной стохастической связи между параметром у и множеством факторов х_i.

0<R<1

5. Далее проводят регрессионный анализ по первой или второй схеме в зависимости от наличия параллельных опытов в экспериментах .

Контрольные вопросы

1 Дать определение параметра оптимизации, фактора, поверхности отклика, факторного пространства.

2 Как выбрать вид функции для математической модели?

3 В чем суть метода наименьших квадратов?

4 Расскажите правило составления системы нормальных уравнений.

5 Опишите первую схему регрессионного анализа.

6 Как проверить значимость коэффициентов уравнения регрессии?

7 Как проверить адекватность математической модели?

8 Охарактеризуйте вторую схему регрессионного анализа.

9 Можно ли проверить адекватность математической модели при отсутствии параллельных опытов?

10 Дать определение коэффициента парной корреляции.

11 Опишите порядок разработки математической модели методом парной корреляции.

12 Опишите порядок выявления связи между параметром оптимизации и факторами.

13 Объясните, как определить степень закоррелированности факторов между собой.

14 Опишите порядок построения математической модели методом множественной корреляции.