- •Содержание Модуль 5
- •5.2 Параметры оптимизации и требования к ним
- •5.3 Факторы и требования к ним
- •5.4 Планы первого порядка
- •5.4.2 Дробный факторный эксперимент (дфэ)
- •5.4.3 Дробные реплики
- •5.4.4 Выбор плана дробного факторного эксперимента
- •5.5 Симплексный метод планирования эксперимента
- •5.6 Интерпретация и принятие решений по результатам математическогомоделирования
- •5.6.1 Интерпретация результатов математического моделирования процессов
- •5.6.2 Принятие решений после построения математической модели процесса
- •5.7 Оптимизация технологических процессов
- •5.7.1 Метод Гаусса-Зейделя
- •Градиентные методы
- •5.7.4 Симплексный метод оптимизации
- •Лекция 14
- •5 .8 Планы второго порядка.
- •5.8.1 Полный факторный эксперимент.
- •5.8.2 Центральные композиционные планы.
- •5.8.3 Ортогональные центральные композиционные планы
- •5.9 Решение задачи оптимизации
- •5.9.1 Исследование поверхности отклика второго порядка
- •5.9.2 Методы оптимизации
- •7 Градиентные методы
- •9 Дробные реплики
- •25 Методы оптимизации
- •34 Полный факторный эксперимент
- •Список использованных источников
5.4.2 Дробный факторный эксперимент (дфэ)
Количество опытов в ПФЭ значительно превосходит количество определяемых коэффициентов линейной модели. Другими словами, ПФЭ обладает большой избыточностью опытов. В таблице 2 показано соответствие количества факторов количеству экспериментов в ПФЭ.
Таблица 5.2 – Зависимость количества экспериментов (n) от количества факторов (к)
к |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
n |
4 |
8 |
16 |
32 |
64 |
128 |
256 |
Необходима минимизация опытов. Количество опытов резко сокращается при использовании дробных реплик от ПФЭ, т.е. дробного факторного эксперимента.
Эксперимент, в котором применяется лишь некоторая часть сочетаний уровней факторов, в отличие от ПФЭ, называется дробным факторным экспериментом (ДФЭ).
Для того чтобы дробная реплика представляла собой ортогональный план, в качестве реплики следует брать ПФЭ для меньшего количества опытов. Количество опытов при этом должно быть большим или равным количеству коэффициентов в уравнении регрессии.
(к+ 1) n < 2k
Допустим, что надо получить математическую модель для трехфакторного процесса ( n =23 = 8 ).Для решения этой задачи можно ограничиться четырьмя опытами, если в матрице планирования для ПФЭ 22 использовать столбец x1x2 в качестве плана для x3 (таблица 3). Построим расширенную матрицу планирования экспериментов, т.е. матрицу, содержащую столбец взаимодействия факторов (x1x2).
При варьировании факторов на двух уровнях можно получить полином первого и неполного высшего порядка, то есть результаты эксперимента можно представить в виде неполного квадратичного уравнения:
Y = b0 + b1x1 + b2x2 + b12x1x2 (5.20)
Таблица 5.3 – Расширенная матрица планирования экспериментов
-
n
х0
х1
х2
х1 х2
1
+1
-1
-1
+1
2
+1
+1
-1
-1
3
+1
-1
+1
-1
4
+1
+1
+1
+1
Если имеется основание считать, что в выбранных интервалах варьирования процесс может быть описан линейной моделью, то достаточно определить 3 коэффициента в0 , в1 , в2 .
Остается одна степень свободы. Употребим ее для минимизации количества опытов.
Предположим в12 0 и столбец х1х2 можно использовать для нового фактора х3, т.е. заменим x1x2 на x3.,элементы столбца при этом не изменяются. В результате этих преобразований получаем математическую модель следующего вида:
Y = b0 + b1x1 + b2x2 + b3x3 (5.21)
Каковы при этом будут оценки коэффициентов?
Здесь уже не будет тех раздельных оценок, которые мы имели в ПФЭ – 2k
О ценки смешаются следующим образом:
где β – математическое ожидание для соответствующих коэффициентов.
Но мы можем считать, что все парные взаимодействия не значимы. Главное, мы нашли средство минимизировать число опытов. Вместо 8 можно поставить 4 опыта и получить те же результаты. При этом матрица планирования не теряет своих оптимальных свойств.
Найденное правило можно сформулировать так: чтобы сократить количество опытов нужно новому фактору присвоить вектор-столбец матрицы, принадлежащий взаимодействию, которым можно пренебречь. Тогда значение нового фактора в условиях опытов определяется знаками этого столбца.
Для того чтобы определить смешанность оценок коэффициентов, удобно пользоваться таким приемом: поставив в матрице x3 на место x1x2 , получаем соотношение x3 = x1x2 , называемое генерирующим соотношением.
Умножим обе части генерирующего соотношения на x3:
x32 =x1x2x3, x32 = 1, I = x1x2x3..
Полученное выражение называется определяющим контрастом. При помощи этих характеристик определяют смешанность оценок коэффициентов уравнения регрессии. Умножив по очереди определяющий контраст на x1, x2, x3 получим:
x1 = x12x2x3 = x2 x3, x2 = x1x3, x3 = x1x2..
Следовательно , коэффициенты bi будут оценивать сумму коэффициентов, т.е. коэффициенты будут менее точными, чем в ПФЭ,
b1 = b1 + b23, b2 = b2 + b13, b3 = b3 +b12.