Контрольна робота №4

5. Міцність при складному напруженому стані та повторно – змінних напруженнях

Література: [1] – с. 152 – 193, 324 – 352, 562 – 590;

[2] – с. 252 – 284, 292 – 316, 381 – 412.

Складний опір має місце, коли в поперечних перерізах виникає більше одного внутрішнього силового фактора. Будь-якій сукупності простих деформацій (розтягання, стискання і згинання, в т.ч. поперечне згинання; розтягання, стискання і кручення; кручення і згинання тощо) переріз чинить складний опір.

У випадку складного опору стержня визначають ВСФ і деформації, застосовуючи принцип суперпозиції (принцип незалежності дії сил).

5.1. Основні поняття теорії напруженого стану

Характер і величина напружень в будь-якій точці навантаженого елемента конструкції залежить не тільки від внутрішніх силових факторів, але й від положення сікучої площини, проведеної через точку.

9.3.1 Напружений стан в точці (поняття)

Введемо це поняття на найпростішому прикладі розтягнутого стержня (рис. 9.14):

а	б	в	г

Рисунок 9.14 – Напружений стан при розтяганні: а – поперечний і нахилений перерізи; б – розподіл напружень в нахиленому перерізі; в – напруження в точці Т; г – головні площини

Перед усім знайдемо відповідь на таке запитання: чи виникають дотичні напруження в стержні при його осьовому розтяганні – стисканні? Згадаймо й те, що в перерізах, перпендикулярних до повздовжньої вісі (тобто – в поперечних перерізах), виникають тільки нормальні напруження

,

де – нормальна сила в перерізі, як рівнодіюча внутрішніх сил пружності, визначена з умови рівноваги відсіченої частини бруса ; А – площа поперечного перерізу бруса.

Якщо провести сікучу площину нахилену під деяким кутом відносно поперечного перерізу, то поздовжня (нормальна) сила в перерізі , визначена з умови рівноваги відсіченої нижньої частини бруса, буде такою ж як і в попередньому випадку: (рис. 9.14, б).

Площина нахиленого перерізу , а повне напруження в довкіллі точки Т буде таким:

.

Для аналізу напруженого стану в довкіллі точки Т покажемо окремо її модель – рис. 9.14, в. Повне напруження доцільно розглядати у вигляді двох складових напружень: нормального до площини , та дотичного напруження .

Таким чином, з’ясовано, що напруження в точці залежить не тільки від зусилля, а й від положення площини, що проведена через точку. Якщо провести площину інакше, то і напруження будуть іншими. Взагалі напружений стан (Н.С.) в точці – це сукупність напружень на нескінченному числі площинок, що проходять крізь досліджувану точку в усіх напрямках. На цьому ж прикладі ми з’ясували можливість визначення напружень на будь-яких похилих площинах, якщо відомі напруження на якихось похідних.

До речі, оскільки функція синуса – періодична (через ), то з останньої формули витікає, що , тобто на взаємно перпендикулярних площадках дотичні напруження однакові. Їх напрямки мають буди такими, щоб відсічена частина бруса була урівноважена (тобто – до загального ребра взаємно перпендикулярних площинок чи від нього).

В загальному випадку навантаження бруса (рис. 9.15,а), для аналізу напруженого стану в довкіллі досліджуваної точки на нескінченно близьких відстанях dx, dy, dz проводять шість взаємно перпендикулярних сікучих площин, формуючи елементарний паралелепіпед, як об’ємну модель точки (рис. 9.15, б).

На кожній грані паралелепіпеда може виникати якесь довільне напруження Р, яке доцільно (при аналітичному та механічному дослідженнях) розглядати у вигляді трьох його складових частин, а саме – проекцій на три взаємно перпендикулярні вісі, проведені через центр площадки: проекція вектора Р на зовнішню нормаль z до площадки є так зване нормальне напруження ; проекція Р на площину грані є так зване повне дотичне напруження , яке в свою чергу розкладають на два вектори і вздовж осей x-y, що формують цю площину. Перший індекс при напруженнях означає нормаль до площини, в якій вони виникли, тобто – саму площину. Другий індекс вказує напрямок вектора напружень, тобто вздовж якої осі направлено напруження (при нормальних напруженнях другий індекс опускають, бо він співпадає з першим).

Рисунок 9.15 – Зовнішнє навантаження рами (а), ВСФ і модель точки Т (б)

Тепер, повертаючись до моделі досліджуваної точки (рис. 9.16), покажемо, що на кожній грані виникає по три можливі складові частини (, ) повного напруження. На трьох видимих гранях напрямки векторів напружень взяті позитивними (вздовж x, y, z та в їх напрямі).

На невидимих гранях паралелепіпеда вектори напружень , повинні бути рівними за величиною та протилежного напрямку, бо відокремлений в довкіллі точки Т паралелепіпед має бути врівноваженим під дією внутрішніх сил пружності, що виникли на його шести гранях. На трьох невидимих гранях вектори напружень умовно не показані, щоб не ускладнювати рисунок.

Рисунок 9.16 – Модель точки з компонентами напружень на видимих гранях

Завдяки гіпотезі суцільності та однорідності матеріалу всі шість граней паралелепіпеда можна зближувати так, що гранично вони пройдуть через точку Т, формуючи три взаємно перпендикулярні площини, проведені саме через неї.

Компоненти напружень на цих трьох взаємно перендикулярних площинах записують в чітко визначеній послідовності у вигляді таблиці – так званого тензора Т_Н напруженого стану. В першому рядку записують ті напруження, що паралельні вісі х (на це вказує другий індекс при ); в другому рядку – напруження паралельні вісі у; в третьому – паралельні вісі z. При такому записі простіше складати рівняння рівноваги елемента:

В межах кожного стовпчика таблиці записують ті напруження, що виникають на одній тільки грані з відповідною нормаллю (на це вказує перший індекс при ). По суті це координати повного вектора напружень на одній площадці. На головній діагоналі матриці розміщують компоненти нормальних напружень а на побічних – дотичні . Складену таким чином таблицю (квадратну матрицю) і назвали тензором напруженого стану в точці. В ньому дев’ять компонентів напружень. Згідно закону парності дотичних напружень на двох взаємно перпендикулярних площинах дотичні напруження, перпендикулярні до загального ребра, рівні між собою і прямують до ребра або від нього, тобто . Завдяки цьому компоненти дотичних напружень, розміщені на побічних діагоналях матриці, одинакові, а тензор напружень – симетричний відносно головної діагоналі і повністю визначається лише шістьома незалежними компонентами напружень.

Закон парності дотичних напружень і в загальному випадку напруженого стану продемонструвати просто. Складемо одно з шести можливих рівнянь рівноваги елементарного паралелепіпеда (рис. 9.16), наприклад, суму моментів відносно вертикальної осі z, проведеної через точку Т в центрі паралелепіпеда з врахування того, що лінії дії нормальних зусиль на гранях і проходять через цю точку, а зусилля від інших дотичних напружень паралельні з віссю z, або ж перетинаються з нею. Скоротивши тепер на (dx ·dy ·dz), отримаємо, що , а по аналогії , . Отриманий результат стверджує властивість симетрії тензора напружень відносно головної діагоналі.

В різних дослідженнях напружено-деформованого стану тензор напружень зручно уявляти у вигляді двох складових частин – шарового тензора і девіатора напружень :

де

Шаровий тензор характеризує тільки зміну об’єму елемента при рівномірному трьохосному розтяганні чи стиску з врахуванням дії тільки середніх напружень в трьох напрямах. Девіатор же зумовлює зміну тільки форми елемента в довкіллі точки.