Поняття про рівнонебезпечні напружені стани і еквівалентне напруження

Уявимо в довкіллі небезпечних точок двох тіл два напружених стани – тривісний і лінійний – при розтяганні (рис. 10.1).

Якщо збільшити всі компоненти напружень при С.Н.С. в раз і настане граничний стан (текучість чи руйнування), і якщо збільшити при розтязі в раз і теж настане граничний стан, то ці два Н.С. є рівнонебезпечними.

Еквівалентним напруженням називають таке, що необхідно створити в зразку при розтяганні, щоб його напружений стан був рівнонебезпечним заданому складному напруженому стану. Вирази для отримують, виходячи з різних припущень (критеріїв) щодо настання граничного напруженого стану.

10.1 Критерії початку текучості та руйнування (гіпотези та теорії міцності)

Критерій – це той фізичний фактор, який вважається основною причиною в настанні граничного стану матеріалу, тобто – початку текучості чи початку руйнування.

Як відомо, при будь-якому напруженому стані можна визначити такі показники напружено-деформованого стану в довкіллі точки: найбільші нормальні чи дотичні напруження, найбільшу лінійну деформацію, потенціальну енергію деформування.

а		б

Рисунок 10.1 – Рівнонебезпечні об’ємний (а) ті лінійний (б) напружені стани

(до вибору критеріїв міцності)

10.2 Основні (класичні) теорії міцності

Маючи справу з багатофакторними характеристиками напружених станів в небезпечній точці деформованого тіла, дослідники міцності приймали різні припущення (гіпотези) щодо головної причини настання граничного напруженого стану.

Так, в XVII сторіччі Галілей вирішив судити про міцність матеріалу при С.Н.С. по найбільшому головному нормальному напруженню чи . Ця, перша, гіпотеза годилась для крихких матеріалів при розтязі та згинанні. Але подальші досліди з іншими матеріалами та різному напруженому стану не підтвердили її.

В тому ж сторіччі Маріотт висунув гіпотезу, що критерієм настання граничного стану при С.Н.С. є найбільша лінійна деформація чи . І оскільки по Гуку при С.Н.С. , а при простому Н.С. , то порівнюючи їх, можна записати вираз для еквівалентного напруження за цією, другою, гіпотезою: .

Ця гіпотеза була підтверджена тільки для крихких матеріалів, та навіть для них у випадку розтягання тонкостінної трубки, навантаженої ще й внутрішнім тиском, вона виявилась неприйнятною.

Через два століття (в 1882 р.) була запропонована третя гіпотеза, згідно з якою критерієм появи пластичних деформацій (тобто початку текучості) було взяте найбільше дотичне напруження. При С.Н.С. і виникає на площадках рівнонахилених до 1-ї та 3-ї головних. При розтяганні зразка і виникає в площині нахиленій під кутом до головної (поперечної) площадки.

Порівнюючи С.Н.С. і лінійне Н.С. за цим критерієм пластичності, можна записати вираз для еквівалентного напруження за цією гіпотезою міцності .

Недолік цієї гіпотези той, що не вона не враховує , хоч воно може бути значним. Є й інші вади, та про це – пізніше.

Четверта (по черзі) гіпотеза міцності була висунута вже в 20-му столітті (1906р.) Хубером. Критерієм настання граничного стану взята питома потенціальна енергія зміни форми тіла при його деформуванні.

Вираз для еквівалентного напруження за цією гіпотезою можна отримати, співставляючи вирази для питомої потенціальної енергії формозміни при С.Н.С. з виразом для такої ж енергії при розтяганні:

Слід зауважити, що третя і четверта гіпотези придатні тільки для пластичних матеріалів, для яких Вони зовсім непридатні при рівномірному трьохвісному розтяганні чи стисканні, коли і відповідно

Для крихких і пластичних матеріалів з різним опором розтяганню і стисканню була запропонована (Отто Мором в 1900 р.) феноменологічна теорія міцності. Будь-яких критеріїв початку текучості не приймалось, а лише логічно систематизовані результати можливих випробувань зразків при різних видах напруженого стану.

По теорії Мора , де .

Однак, і теорія Мора не придатна при всебічному, рівномірному напруженому стані матеріалів з однаковим опором розтяганню і стисканню

Для пластичних матеріалів можна (рекомендувати) користуватись – третьою і четвертою: розбіжність в величині за ними не перевищує 16 відсотків, при цьому ІІІ-я підкупає простотою, а ІV-а лягла в основу однієї з теорій пластичності.

За всіма розглянутими критеріями пластичності і теорією Мора граничний напружений стан початку текучості при С.Н.С. виражається умовою текучості:

,

де – границя текучості матеріалу при випробуванні на розтягання.

З врахуванням нормативного запасу міцності , де – допустиме напруження при розтяганні, умову міцності при складному напруженому стані можна уявити так:

.

Інколи при дослідженні напруженого стану одразу простіше визначити не головні напруження , а дотичні та нормальні на довільних площинах, наприклад – в поперечних перерізах стержнів при їх крученні, згині та розтязі. Вали в редукторах та коробках передач зазнають саме такі види деформування, і напружений стан в небезпечних точках перерізу – складний. В таких випадках, користуючись формулами перетворення напружень (9.20), можна отримати вирази для безпосередньо через довільні напруження.

Схематично перехід від напружень і на довільних площинках (в загальному випадку навантаження) до головних нормальних напружень на головних площинках і далі – до визначення еквівалентного напруження та порівняння його з граничним при розтяганні (для оцінки міцності) показано на рис. 10.2.

Якщо виразити компоненти напружень через внутрішні силові фактори в перерізі, то можна визначити величину і через В.С.Ф. Такі розрахункові формули наведені в табл.10.1.

а	б	в

Рисунок 10.2 – Схема перетворень довільних напружень в головні

та еквіваленті для оцінки міцності

Критерії початку руйнування в теперішній час розроблені не так чітко і досконало, як розглянуті вище критерії пластичності. Це пов’язано з дуже складними явищами в процесі руйнування і неможливістю їх простого і чіткого математичного описання та дослідної перевірки.

З достатнім ступенем достовірності граничний напружений стан, що відповідає початку руйнування, можна визначити за теорією Мора: , якщо коефіцієнт визначити так:

Недоліки розглянутих теорій, а також поява нових матеріалів та бажання враховувати вплив виду напруженого стану на міцність елементів (в тому числі в екстремальних умовах ( при експлуатації)) були і є стимулами для розробки нових теорій міцності. Ми можемо лише назвати деякі з останніх (теорія Ягна, теорія Давиденкова, теорія Писаренка і Лєбєдєва, критерій Фрідмана и др.) для ізотропних матеріалів і не менше їх – для анізотропних матеріалів. Детальніше про всі ті теорії слід дивитися в підручниках, в тому числі – Гольденблата Н.И., Коптова В.А. «Критерії міцності і пластичності конструкційних матеріалів».

Таблиця 10.1 – Формули для практичних розрахунків на міцність при

об'ємному та плоскому (найбільш поширеному)

напруженому стані (оболонки, вали, просторові системи)

1	Гіпотези міцності
	ІІІ ()	IV (енергетична)	Теорія міцності Мора
	Вирази для через головні нормальні напруження (на Г.П.)
	В такому вигляді формули зручні, коли Г.Н.Н. визначити просто (оболонка, диски)
2	Інколи ж простіше знайти величину , (наприклад, в поперечних перерізах стержнів при їх крученні, згині та розтязі). Вали, що обертаються, зазнають саме такі види деформування і напружений стан при цьому – двовісний (плоский). В цьому разі з урахуванням того, що перпендикулярне поздовжній осі – відсутнє, то: , а вирази для через напруження і будуть такими:
	Якщо ж виразити компоненти напружень і через відповідні В.С.Ф. та Г.Х. перерізу, то для некруглих перерізів з зовнішніми кутами:
Продовження табл. 10.1
3	Примітка: для круглих перерізів визначати при косому згинанні як суму буде невірно, так як точки з таким в перерізі немає, а тому слід визначити , а нормальне напруження в небезпечних точках в площині дії цього момента буде .
	Для круглих перерізів і вирази для можна отримати (якщо нехтувати можливістю) такими:
	Якщо комбінацію назвати «приведеним» (або еквівалентним) моментом , то умову міцності при згині з крученням круглих валів можна записати так: , де – при розтязі. Вирази для – різні за різними гіпотезами (див. формули 3).
	Якщо врахувати і поздовжню силу, то слід користуватися формулами 2, але мати на увазі, що , де .

Загальним для всіх прийнятих теорій міцності є те, що для оцінки міцності найбільші розрахункові еквівалентні напруження при будь-якому складному напруженому стані порівнюють з допустимими напруженнями [σ], встановленими на основі механічних показників міцності матеріала при його випробувані на розтягання – стискання.

Слід також зазначити, що розглянуті теорії міцності непридатні у разі рівномірного всебічного стискання (σ₁ = σ₂ = σ₃ = − p і σ_екв = 0 ) .

В елементах стержневих конструкцій та деталей машин типу валів, котрі зазнають сумісне згинання та крученнях або згинання з крученням та розтяганням, напружений стан буде плоским (якщо не брати до уваги місця концентрації напружень). При цьому умови міцності з урахуванням виразів (5.1) головних напружень через довільні мають вигляд:

за гiпотезою найбiльших дотичних напружень

(5.5)

за гiпотезою енергiї змiни форми

(5.6)

за теорiєю Мора

(5.7)

У (5.5)(5.7) нормальнi напруження , обумовленi згинанням та розтяганням (стисканням), обчислюють як алгебраїчну суму: в разі неплоского згинання з розтяганням стержнів з перерізами, що мають виступаючі кути (прямокутник, двотавр і т. ін.):

, (5.8)

а з круглими перерізами

. (5.9)

Найбільші дотичнi напруження в круглих перерiзах

(5.10)

а в некруглих перерiзах

(5.11)

У виразах (5.8)  (5.11) та N_z вiдповiдно – згинальні і крутний моменти та нормальна сила; та A – геометричні характеристики перерiзів, вiдповiдно – моменти опору при згинанні і крученнi та площа поперечного перерiзу. Наприклад, для круглого перерiзу дiаметром d (рис. 5.2)

Рис. 5.2

Для прямокутного перерiзу (рис. 5.3) з меншою стороною b i бiльшою h, перпендикулярною до осi x перерiзу, моменти опору будуть:

; ; ,

де   коефiцiєнт впливу спiввiдношення h/b сторін прямокутника на момент опору при крученні.

Рис. 5.3

Числові значення цього і двох інших коефіцієнтів, отримані методами теорії пружності, наведені в таблиці 5.1, де  - коефіцієнт впливу співвідношення h/b на момент інерції при крученні ;  - коефіцієнт залежності між дотичними напруженнями в точках посередині довшої (_max) і коротшої сторін прямокутного перерізу (рис. 5.3)

Таблиця 5.1

h/b	1	1,5	2	3	4	6	10	
	0,208	0,231	0,246	0,267	0,282	0,299	0,313	0,333
	0,141	0,496	0,229	0,263	0,281	0,299	0,313	0,333
	1,000	0.859	0,795	0,753	0,745	0,743	0,742	0,742

Епюри нормальних напружень вiд плоского згинання та розтягання, а також дотичних вiд кручення для стержня круглого поперечного перерiзу мають вигляд, показаний на рис. 5.2, тi ж епюри для стержня прямокутного перерiзу показанi на рис. 5.3 і 5.4.

Епюри нормальних напружень вiд плоского згинання та розтягання, а також дотичних вiд кручення для стержня круглого поперечного перерiзу мають вигляд, показаний на рис. 5.2, тi ж епюри для стержня прямокутного перерiзу показанi на рис. 5.3 і 5.4.

Рис. 5.4

Найбільш навантажений (небезпечний) переріз визначають на пiдставi аналiзу епюр внутрішніх силових факторiв та N_z, а небезпечну (розрахункову) точку, в якій будуть найбільші еківалентні напруження, – з аналізу епюр нормальних i дотичних напружень для конкретної форми перерiзу. Такий аналiз у деяких випадках повинен супроводжуватися обчислюваннями для точок в одному або кiлькох перерiзах. Небезпечною буде та точка, в якiй еквiвалентнi напруження будуть найбiльшими. На прикладі круглого перерізу (рис. 5.2) видно, що найбільше буде в контурних точках. В іншому випадку (рис. 5.3) це не є очевидним, і тiльки на пiдставi розрахунків можна встановити, де буде найбiльше напруження в точцi 1 чи в точцi 2, (в разі, коли нормальна сила N - розтягальна), або в точці 1 чи 3 (коли вона – стискальна).

Якщо в перерізі прямокутної форми виникає два згинальні моменти , крутний момент , і нормальна сила N (рис. 5.4,а), то небезпечну точку можна встановити тiльки на пiдставi обчислення еквiвалентного напруження в трьох точках – це можуть бути точки 1, 2, 8 або 4, 5, 6 (при стискальній нормальній силі N).

Зауваження 1. Для круглого перерiзу стержня, якщо в ньому виникають тiльки згинальний i крутний моменти, зручнiше записувати умову міцності через так званий зведений момент

(5.12)

Формули для визначення цього умовного зведеного момента, отримані після підстановки в формули 5.5 … 5.7 замість напружень  і  їх виразів через відповідні моменти (5.9; 5.10), мають такий вигляд:

за гіпотезою найбільших дотичних напружень

(5.13)

за енергетичною гіпотезою

(5.14)

за теорiєю Мора

. (5.15)

В цих формулах М_зг – сумарний згинальний момент для круглих перерізів:

. (5.16)

Зауваження 2. Якщо в небезпечному перерiзi разом зі згинальним i крутним моментами буде ще й нормальна сила, то проектувальний розрахунок (тобто визначення необхiдних розмiрiв поперечного перерiзу) можна виконувати шляхом послiдовних наближень. Для цього задають розмiри перерiзу i перевiряють умови мiцностi. Для першого наближення слiд брати розмiри перерiзу, необхiднi тiльки за умови дiї згинання з крученням або одного кручення. За таким першим наближенням достатньо ще двох послiдовних наближень, i процес обчислення збiгається, забезпечуючи допустиму похибку в межах 15 %.