5.3. Основні положення розрахунків на жорсткість

Може статись, що елемент конструкції, задовольняючи умову міцності, буде недостатньо жорстким. Якщо це вал, то, закручуючись на значний кут під дією крутного момента, він буде пружинити, передаючи нерівномірно навантаження, що може привести до появи небезпечних коливань. Високі вимоги щодо жорсткості вісі і вала – в приладобудуванні. При великих кутах закручування валів механізмів пересування мостових кранів можливий навіть перекіс крана на рейках. При нарізанні різі на токарних верстатах точність її тим більша, чим менші кути закручування ходового гвинта. Від крутильної та згинальної жорсткості шліцевих валів і валів із зубчатими колесами залежить підвищення концентрації напружень по довжині зуба чи шліца.

Тому часто ставлять вимоги, щоб, крім міцності, елементи конструкцій мали достатню жорсткість. Критеріями жорсткості є кути закручування, прогини та кути повороту перерізів при згинанні елемента.

Допустимий відносний кут закручування встановлюється технічними умовами, його величина для різних конструкцій і режимів роботи змінюється в досить широких межах [] = 0,15  2 град/м, або [] = (0,26  3,5)10 ^-2 рад/м.

Допустима величина прогинів вала редуктора не повинна бути більшою, ніж 0,01 найменшого модуля зубчатих коліс, встановлених на ньому найбільші допустимі кути повороту (перекоси) перерізів при згинанні вала: в підшипниках сковзання [_х] < 0,001 рад, а в шарикопідшипниках [_х]  810 ^-3 рад.

Розрахунки на жорсткість виконують, якщо це необхідно, для кожного виду простого чи складного опору. Умова жорсткості при крученні забезпечується обмеженням найбільшого розрахункового відносного кута закручування допустимою його величиною

, (5.17)

де _max M_z - крутний момент в перерізах небезпечної ділянки вала згідно з епюрою; G - модуль пружності матеріала при крученні (зсуві); I_p - полярний момент інерції перерізу вала; GI_p - крутильна жорсткість.

Полярний момент інерції круглих перерізів у вигляді кругового кільця:

,

де С – співвідношення внутрішнього діаметра кругового кільця до його зовнішнього діаметра d, для суцільного вала С = 0.

В разі необхідності обмеження прогинів і кутів повороту перерізів відносно поперечних осей визначають ці переміщення, а потім порівнюють їх з допустимими, нормативними.

Звернемо увагу на особливості визначення переміщень при складному (неплоскому) згинанні.

При дії на стержень чи вал зовнішніх сил, розташованих в різних площинах, ці сили проектують на дві взаємно-перпендикулярні площини. В разі некруглих перерізів це мають бути головні площини, що співпадають з головними центральними осями перерізу. Коли в круглих стержнях (валах) визначені згинальні моменти в двох площинах, то спочатку можна взяти їх геометричну суму (5.16), а далі визначати повний прогин чи кут повороту в площині сумарного момента. Обчислення таких переміщень доцільно проводити за методом Верещагіна, уявляючи реальну епюру сумарного згинального момента умовно зведеною в одну площину, що можливо завдяки круговій симетрії перерізів.

При косому згинанні некруглих перерізів (прямокутник, двотавр і т.ін.) спочатку необхідно визначити прочини в площинах дії кожного момента (в напрямку головних центральних осей перерізу), а загальний прогин обчислити як геометричну суму .

Ооооооооооооооооооооооооооо

текст

Оооооооооооооооооооооооо

Задача 5.1. Розрахунок вала редуктора (табл. 5.2 та рис. 5.5).

Визначити необхiдний дiаметр вала за умовою мiцностi на пiдставi гiпотези найбiльших дотичних напружень. Матерiал вала – сталь 45 з модулями пружності Е = 210⁵ МПа, G = 0,810⁵ МПа і границею текучостi . Нормативний коефiцiєнт запасу мiцностi . Перевiрити жорсткiсть вала за трьома параметрами: допустима деформацiя кручення [_z] = 1,5 град/м; допустимий прогин у мiсцi встановлення деталi зубчатої передачi [f] = 310 ^–4L, де L – вiдстань мiж опорами; допустимий кут повороту лівого опорного перерізу А відносно його поперечної вісі [] = 810^-3 рад. Вал обертається в пiдшипниках, iз яких лiвий перешкоджає його горизонтальному перемiщенню. На вал діє три сили , і у взаємно перпендикулярних площинах і момент М  в площинi, перпендикулярнiй до осi вала.

Таблиця 5.2

Вихiднi даннi до задачi 5.1

Номер		Теорія мiцностi	Зовнiшні сили, кН			Дiаметр D, мм	Лiнiйнi розмiри вала, мм
рядка	схеми		F	Fr	Fa		f	k		l
1	1	III	8	3	1,2	120	40	105		110
2	2	IV	9,5	3,5	3	160	35	70		90
3	3	Мора	18	6,2	4,5	540	30	120		20
4	4	III	12	4,1	-	180	35	45		95
5	5	IV	25	9	6	420	65	150		75
6	6	Мора	13	4	2,5	260	30	85		85
7	7	III	19	6	3	320	40	120	70
8	8	IV	6	1,8	1,5	70	80	180	200
9	9	Мора	9	2,7	1,3	140	35	100	120
0	10	III	10	3,3	4	170	30	60	80
в		в	а	б	в	в	в	а	б

Рис. 5.5

Приклади розрахунків на міцність та жорсткість при складних видах опору та складному напруженому стані.

Приклад 5.1. Розрахунок вала редуктора (рис. 5.7)

Визначити необхiдний дiаметр вала за умовою мiцностi на пiдставi гiпотези найбiльших дотичних напружень. Матерiал вала – сталь 45, границя текучостi , нормативний коефiцiєнт запасу мiцностi . Перевiрити жорсткiсть вала на кручення та згинання за такими параметрами: допустима деформацiя кручення ; допустимий прогин у мiсцi установлення деталi зубчатої передачi [f_C] = 310^-4 L, де L – вiдстань мiж опорами; допустимий кут повороту лiвого опорного перерiзу [_A] = 810^-3 рад. Лiвий підшипник перешкоджає горизонтальному перемiщенню вала. В точцi К зачеплення дiють три взаємно перпендикулярнi сили:

а б в г д є ж з і к

Рис. 5.7

Розв’язання

1. Визначимо величину крутного момента, що передає зубчасте колесо діаметром D завдяки окружній силі F в зубчатому зачепленні:

2. Побудуємо епюру крутильних моментів (рис. 5.7,б).

3. Побудуємо епюру згинальних моментів.

Оскільки сили, що згинають вал, діють в різних площинах, то краще розглянути розрахункові схеми вала з навантаженням в вертикальній і горизонтальній площинах окремо.

3.1. Вертикальна площина YAZ (рис. 5.7,в).

В цій площині на вал діють радіальна сила F_r = 1,5 кН і момент М_а, зумовлений аксіальною силою F_а в зачепленні:

.

Визначимо вертикальні реакції опор:

Перевіримо обчислення вертикальних реакцій:

.

Будуємо епюру згинальних моментів М_х в вертикальній площині (рис. 5.7,г), причому для спрощення записів на епюрі збільшимо числа в 10³ раз, а літерне позначення згинального момента запишемо відповідно М_х10³ кНм.

3.2. Горизонтальна площина XAZ (рис. 5.7, д).

В цій площині на вал діють аксіальна сила F_a вздовж вала і окружна F – впоперек. Визначимо горизонтальні опорні реакції:

Перевірка .

Будуємо епюру згинальних моментів М_у в горизонтальній площині (рис.5.7,є).

3.3. Сумарна епюра згинальних моментів в умовній площині.

Оскільки нормальні напруження в круглих перерізах при згинанні в двох площинах визначаються тільки через сумарний згинальний момент

,

то необхідно визначити його величину в характерних перерізах вала і можна побудувати епюру (умовно – в одній площині – рис.5.7,ж).

З цієї епюри видно, що найбільшими моментами в характерних перерізах двох ділянок вала будуть: трохи ліворуч від перерізу С (при Z = AC – 0)

,

а трохи праворуч – (при Z = AC + 0)

.

4. Будуємо епюру нормальних сил, зумовлених дією аксіальної сили F_a в зачепленні (рис. 5.7,д).

За умовою задачі конструкція лівого підшипника чинить опір поздовжньому переміщенню вала, а тому ліва ділянка АС вала зазнає стискання, що й відображено на епюрі N_z (рис. 5.7,з).

5. Визначимо діаметр вала за умовою міцності.

Аналіз епюр нормальних сил, сумарних згинальних і крутильних моментів дозволяє зробити висновок, що найбільш навантаженим є переріз С (при Z = AC  0), в якому N_z = 1 кН, и . Поява таких внутрішніх силових факторів обусловлює в найбільш небезпечних (периферійних) точках круглого перерізу складний (а саме – двовісний) напружений стан.

Умова міцності на підставі заданої гіпотези (найбільших дотичних напружень) при такому навантаженні має вигляд:

Для спрощення проектувальних розрахунків (при визначені діаметра вала) за такою умовою міцності часто нехтують нормальною силою, але в подальшому перевіряють її вплив на міцність. Якщо N = 0, то умову міцності можна записати так

,

де _maxM_зв – найбільший зведений момент, який по гіпотезі найбільших дотичних напружень обчислимо так:

.

Тоді за умовою міцності необхідний діаметр вала має бути

Оцінимо напруження від нормальної сили

що становить

і є набагато меншим допустимої в інженерних розрахунках похибки до п’яти відсотків.

Візьмемо діаметр вала d = 22 мм.

6. Перевірка умов жорсткості вала

6.1. Умова жорсткості при крученні по найбільшому відносному куту закручування:

(5.17)

де _maxM_z – крутильний момент на найбільш навантаженій ділянці вала;

G – модуль пружності матеріала при зсуві та закручуванні, рівний 810⁴ МПа для сталі;

І_р – полярний момент інерції перерізу круглого суцільного вала

GI_p – жорсткість поперечного перерізу вала при крученні.

Розрахунковий кут закручування буде таким

Оскільки задане допустиме значення

або

то очевидно, що , тобто на кручення умова жорсткості не виконується. Щоб забезпечити необхідну крутильну жорсткість вала, необхідно визначити його діаметр за цією умовою (5.17):

звідки

Згідно з державним стандартом діаметрів валів вибираємо найближчий до необхідного більший: d = 30 мм.

6.2. Умови жорсткості вала по величині допустимого прогину [f]:

.

Найбільший розрахунковий прогин _maxf буде очевидно (для такої схеми навантаження, як на рис. 5.7,а) – під зубчатим колесом. Якщо визначити прогин цього перерізу способом Верещагіна, то необхідно прикласти біля нього одиничну відповідну силу, побудувати епюру одиничних згинальних моментів (рис. 5.7,і) і помножити її на реальну епюру сумарних згинальних моментів (рис. 5.7,ж):

.

З врахуванням пружньо-геометричних характеристик круглого сталевого вала

(

- жорсткість поперечного перерізу вала при згинанні) найбільший прогин буде таким:

.

Оскільки заданий допустимий прогин перерізу під зубчатим колесом

,

то умова жорсткості по прогину виконується.

6.3. Умова жорсткості вала по куту нахилу опорного перерізу відносно його поперечної вісі.

В загальному машинобудуванні найбільший кут нахилу поперечного перерізу [_х] в опорі з радіальним шарикопідшипником встановлено нормативно в межах 810^-3 рад.

Дійсний (розрахунковий) кут нахилу поперечного перерізу вала в лівій опорі А зручно визначити за способом Верещагіна, приклавши біля цього перерізу відповідний одиничний момент (рис.5.7,к) і перемножаючи одиничну епюру, зумовлену цим моментом, на реальну сумарну (рис. 5.7,ж):

Порівнюючи цю величину з нормативною:

,

можна зробити висновок, що умова жорсткості по куту нахилу опорного перерізу теж виконується.

Приклад 5.2. Розрахунок на мiцнiсть елементiв просторової стержневої системи

Визначити, виходячи з умови мiцностi, розмiри поперечних перерiзiв елементiв просторової стержневої системи (рис. 5.8). Матеріал – сталь 30, границя текучостi запас мiцностi вiдношення сторiн прямокутного перерiзу Розрахунок виконати за гiпотезою найбiльших дотичних напружень.

Задача 5.2. Розрахунок на мiцнiсть елементiв просторової стержневої системи (вихiдні данi – в табл. 5.3 та рис. 5.6).

Визначити, виходячи з умови мiцностi, розмiри поперечних перерiзiв елементiв просторової системи. Матерiал – сталь з границею текучостi , нормативний коефiцiєнт запасу мiцностi . Для прямокутного перерiзу вiдношення сторiн h/b згiдно з табл. 5.3.

Таблиця 5.3