2.2. Концентрація носіїв заряду

В зоні провідності максимальна кількість електронів не може перевищувати подвоєної кількості дозволених енергетичних рівнів, бо за принципом Паулі на кожному рівні може знаходитися не більше двох електронів. Ймовірність знаходження електрона на енергетичному рівні визначається температурою . При К зона провідності порожня, із збільшенням температури вона заповнюється електронами. Для визначення концентрації вільних електронів провідності застосовується функція густини енергетичних станів – це число рівнів в одиниці об’єму твердого тіла, віднесених до енергії рівня . :

,

де – ефективна маса електрона, - постійна Планка, , - енергія дна зони провідності, - поточне значення енергії в зоні провідності.

Ймовірність того, що енергетичний рівень зони провідності при даній температурі зайнятий електроном, визначається функцією Фермі-Дірака:

де – енергія, яка називається рівнем Фермі, - постійна Больцмана, , - абсолютна температура. При будь-яких температурах рівень Фермі, це такий рівень, ймовірність заповнення, якого дорівнює 1/2. Рівень фермі – це найвища енергія частки ( в даному випадку електрона) в системі при будь-яких значеннях температури.

В електроніці зручніше виражати енергію не в джоулях, а в електрон-вольтах, або просто в вольтах, тоді зонна енергетична діаграма напівпровідника називається потенціальною діаграмою. Поділивши енергії і на заряд електрона функція Фермі-Дірака набуде вигляду:

,

де , – рівень фермі у вольтах, - температурний потенціал, В. Значення температури підставляється в Кельвінах

Концентрація вільних електронів в зоні провідності визначається інтегралом

.

В загальному вигляді цей інтеграл не має рішення. Отримати таке рішення можливо для невироджених напівпровідників, для яких статистика Фермі-Дірака спрощується. Для невироджених напівпровідників рівень Фермі лежить завжди в забороненій зоні. Якщо розташування рівня Фермі по відношенню до дна зони або стелі валентної зони визначається нерівностями та , то статистика Фермі-Дірака спрощується.

Для n–напівпровідника це статистика Максвела-Больцмана

.

Для невироджених напівпровідників розв’язок інтеграла має вигляд

,

де - концентрація вільних електронів в зоні провідності, - ефективна густина станів у зоні провідності.

де – концентрація вільних дірок у валентній зоні, - ефективна густина станів в валентній зоні.

По суті - це максимально можлива концентрація електронів в зоні провідності у невиродженому напівпровіднику за умови , а – максимально можлива концентрація дірок у валентній зоні в невиродженому напівпровіднику за умови . У власних напівпровідниках рівень Фермі лежить в забороненій зоні поблизу її середини. В домішкових невироджених напівпровідниках рівень Фермі із збільшенням концентрації наближається в напівпровідниках з електронною провідністю до дна зони провідності , з дірковою – до стелі валентної зони .

Для власного напівпровідника, для якого концентрація вільних електронів дорівнює концентрації дірок і звідки . Концентрація визначається:

.

З виразу видно, що концентрація носіїв у власному напівпровіднику сильно залежить від температури, а також від ширини забороненої зоні .

Значення і можуть бути приблизно обчислені за виразами:

,

,

де , - ефективні маси електрона, дірки по відношенню до маси вільного електрона.

В напівпровіднику з електронною провідністю вільних електронів провідності набагато більше, ніж дірок. Електрони є основними рухливими носіями заряду і їх концентрація позначається – концентрація електронів в шарі , дірки є неосновними носіями і їх концентрація позначається - концентрація дірок в шарі . Концентрація електронів в n–напівпровіднику визначається як

,

де – концентрація донорної домішки, - власна концентрація електронів. Донорні домішки в робочому діапазоні температур напівпровідників іонізовані, тобто всі донори віддали електрони і перетворились в нерухомі позитивні іони . Для типових концентрацій і концентрація електронів визначається концентрацією донорів . При сталій температурі електропровідність напівпровідника залишається незмінною, тобто кількість рухливих носіїв заряду теж незмінна. Це можливо тільки при умові, коли швидкість генерації носіїв дорівнює швидкості їх рекомбінації. Це умова термодинамічної рівноваги. Вона виконується для будь-якого напівпровідника – з електронною, дірковую або власною провідністю.

Умова термодинамічної рівноваги для n–напівпровідника .

Звідки визначається концентрація неосновних носіїв дірок в n-напівпровіднику .

Аналогічні співвідношення характеризують і дірковий напівпровідник. Концентрація основних носіїв – дірок визначається як

,

де - концентрація акцепторної домішки, - власна концентрація дірок. Концентрація неосновних носіїв електронів в шарі p позначається і її величина знаходиться з умови термодинамічної рівноваги –напівпровідника

, .