5.1.2. Основные законы алгебры логики

1. Законы одинарных элементов:

   1. универсального множества: А1=1; А^ 1=А;

   2. нулевого множества: А0=А; А^ 0=0.

2. Законы отрицания:

   1. двойного отрицания: ;

   2. дополнительности: = 1; А^ Ā =0.

   3. двойственности (де Моргана): ;

3. Комбинационные законы:

   1. тавтологии: АА=А; А^А=А;

   2. коммутативные: АB=BА; А^B=B^А;

   3. ассоциативные: А (BC)=(АB) C; А^ (B^ C) = (А^ B) ^ C;

   4. дистрибутивные: А(BC)=А ^ BА^ C;

   5. абсорбции (поглощения): АА^B=А; А^ (АB)=А;

   6. склеивания: A^BА^В =А; (АВ) ^ (АВ ) = А.

5.1.3. Логические выражения

Сложные высказывания можно записывать в виде формул. Такие формулы называются логическими выражениями. Например:

Чтобы определить значение логического выражения, необходимо подставить значения логических переменных в выражение и выполнить логические операции. Для каждого логического выражения можно построить таблицу истинности, которая определяет истинность или ложность логического выражения при всех возможных комбинациях исходных значений логических переменных.

5.1.4. Логические элементы

Логические элементы — это электронные устройства, которые преобразуют проходящие через них двоичные электрические сигналы по определенному закону.

Логические элементы имеют один или несколько входов, на которые подаются электрические сигналы, обозначаемые условно 0, если отсутствует электрический сигнал, и 1, если имеется электрический сигнал. Также логические элементы имеют один выход, с которого снимается преобразованный электрический сигнал. К основным логическим элементам современных вычислительных узлов относятся электронные схемы, реализующие операции И, ИЛИ, НЕ, И-НЕ, ИЛИ-НЕ. С помощью этих схем можно реализовать любую логическую функцию, описывающую работу устройств компьютера.

Рис. 5.1. Электронные схемы, реализующие операции И, ИЛИ, НЕ, И-НЕ, ИЛИ-НЕ

5.1.5. Функциональные схемы и функциональные узлы

Сигнал, выработанный одним логическим элементом, можно подавать на вход другого элемента, это дает возможность образовывать цепочки из отдельных логических элементов — функциональные схемы.

Функциональная (логическая) схема – это схема, состоящая из логических элементов, которая выполняет определённую функцию. Анализируя функциональную схему, можно понять, как работает логическое устройство, т.е. дать ответ на вопрос: какую функцию она выполняет.

Важной формой описания функциональных схем является структурная формула. Например, как записать формулу по заданной функциональной схеме:

Рис. 5.2. Пример функциональной схемы

Элемент “И” осуществляет логическое умножение значений ¬А и В. Над результатом в элементе “НЕ” осуществляется операция отрицания, т.е. вычисляется значение выражения:

Это выражение представляет собой структурную формулу для функциональной схемы, приведённой на рис. 5.2.

Для функциональной схемы можно составить таблицу истинности (Таблица 5.2). Таблица истинности – это табличное представление логической (функциональной) схемы в котором перечислены все возможные сочетания значений входных сигналов вместе со значением выходного сигнала для каждого из этих сочетаний.

Таблица 5.2

Таблица истинности

A	B	C
0	0	1
0	1	0
1	0	1
1	1	1

Цифровые функциональные узлы подразделяются на два класса:

1. Цифровые функциональные узлы, содержащие элементы памяти, – триггеры, счетчики, делители и др.;

2. Цифровые функциональные узлы, не содержащие элементы памяти (комбинированные) – логические элементы, шифраторы, дешифраторы, устройства сравнения, сумматоры, мультиплексоры и др.

Триггер – электронная схема, имеющая два устойчивых состояния, применяемая для хранения значения одноразрядного двоичного кода.

Регистр – совокупность триггеров, предназначенных для хранения многоразрядного двоичного числового кода. Типы регистров:

• сдвиговый регистр – предназначен для выполнения операции сдвига;

•  счетчики – схемы, способные считать поступающие на вход импульсы.

• счетчик команд – регистр устройства управления процессора (УУ), содержимое которого соответствует адресу очередной выполняемой команды; служит для автоматической выборки программы из последовательных ячеек памяти;

• регистр команд – регистр УУ для хранения кода команды на период времени, необходимый для ее выполнения. Часть его разрядов используется для хранения кода операции, остальные – для хранения адресов операндов.

Сумматор – устройство, обеспечивающее суммирование двоичных чисел с учетом переноса из предыдущего разряда.

Шифратор (кодер) – это логическое устройство, которое преобразует единичный сигнал на одном из входов в n-разрядный двоичный код. Наибольшее применение он находит в устройствах ввода информации (например, в клавиатуре), для преобразования десятичных чисел в двоичную систему счисления

Дешифратор (декодер) – это логическое устройство, преобразующее двоичный код, поступающий на его входы, в сигнал только на одном из его выходов.