2.4 Однородные системы линейных уравнений

Определение 2.4.1.

Система линейных уравнений называется однородной , если все элементы правой части системы равны нулю, т.е. если АX=0

Очевидно , что однородная система всегда имеет тривиальное решение х₁=0 x_n=0 и следовательно , всегда совместна .

Действительно:

Этот же вывод можно сделать из теоремы Кронекера-Капелли,

т .к. не трудно догадаться , что r(A)= r(A/В)

1) если r(A)=n , то система имеет только единственное решение т.е. тривиальное решение становится единственным, и обратно, если тривиальное решение единственно, то r(A)=n.

2) Однородная система имеет нетривиальное решение (т.е. бесчисленное множество решений).

Пример 2.4.1 Решить систему:

Решение: Найдем ранг основной матрицы системы (суть способа поясним ниже)

rang=2, r<n, 3-2=1 выберем минор второго порядка не равный нулю:

Укороченная система имеет вид :

x₁ x₂ – базисные, коэффициенты при которых вошли в базисный минор

тогда x₃ и x₄ - свободные неизвестные, придадим им значения С₁иС₂ , найдем x₁ и x₂

Множество решений системы имеет вид:

3. Основы численных методов решения задач теории матриц и систем линейных алгебраических уравнений .

3.1 Элементарные преобразования матриц

Определение 3.1.1.

Элементарным преобразованием матриц называется :

1)умножение строки (столбца) матрицы на число не равное нулю;

2) прибавление к строке (столбцу) матрицы другой строки(столбца), умноженной на произвольное число;

3)перестановка местами двух строк(столбцов) матрицы .

Теорема 3.1.1.

Любое элементарное преобразование, производимое над строками матрицы А, эквивалентно умножению матрицы А слева на матрицу, полученную из единичной матрицы с помощью того же самого преобразования. A_nxmЮI_nxn

Теорема 3.1.2.

Любое элементарное преобразование, производимое над столбцами матрицы А, эквивалентно умножению матрицы А справа на матрицу , полученную из единичной матрицы с помощью того же самого преобразования. A_nxmЮI_mxm

Доказательство этих теорем основано на правиле перемножения двух матриц.

Рассмотрим преобразования, указанные в теореме 3.1.1. на матрице А_3x4

1)Умножим вторую сторону на матрица элементарного преобразования есть

Действительно:

_{2)прибавим теперь к третей строке первую, умноженную на lЮ} матрица элементарного преобразования есть

_или:

Распишем для нашего случая (A3x4) :

3)переставим первую и третью строки Ю матрицы элем.преобразования Q_ij

Аналогично можно убедиться в справедливости Теоремы 3.1.2.

Теорема 3.1.3.

Матрица любого элементарного преобразования не вырожденна

Теорема 3.1.4.

Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы .

3.2 Вычисление определителя

В основу метода вычисление определителя положены следующие факты:

а)Определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов.

б)Элементарные преобразования второго типа не меняют величины определителя.

Идея метода - используя преобразования второго типа привести матрицу к треугольному виду. Осуществить это можно по следующей схеме:

Умножая первую строку на некоторое число и вычитая из другой строки, обнулить, т.е. сделать равным нулю элементы первого столбца. Напомним, что при вычитании строк вычитаются соответствующие элементы , поэтому А΄-lАЫа₂₁-lа₂₁, а₂₂-lа₁₂… а_2n-lа_1n

Потребуем, чтобы а₂₁-lа₂₁=0Юl=а₂₁ /а₁₁ , чтобы a₃₁=0 Ю a₃₁-a₁₁=0Ю= a₃₁/ a₁₁ и т.д. Получим матрицу вида:

Теперь обнулим элементы второго столбца, лежащие ниже главной диагонали. Это нужно сделать второй строкой матрицы , т.к. использование первой строки испортит элементы первого столбца. Определяя l из условия

Получим матрицу

Затем обнулим элементы третьего столбца и т.д. Для обнуления i-го столбца элемент должен быть отличен от нуля т.к.

Пример 3.2.1: Вычислить определитель матрицы A.

Решение: Приведем матрицу к треугольному виду:

Такой способ вычисления определителя гораздо экономичнее, поскольку число операций не n! , а только n² .

Замечание

При вычислении определителя можно пользоваться и элементарными преобразованиями типа 1) и 3) надо только помнить, как при этом меняется определитель.