Обозначения, используемые в пособии.
N – множество натуральных чисел.
Z – множество целых чисел.
Q – множество рациональных чисел.
R – множество действительных чисел, числовая прямая.
- пустое множество.
{a,b, c} – множество, состоящее из элементов a,b,c.
[a;b] – замкнутый промежуток с началом a и концом b (a<b).
(a;b) – открытый промежуток (интервал) с началом a и концом b (a<b).
- знак объединения.
- знак пересечения.
AB – объединение множеств A и B.
AB – пересечение множеств A и B.
A \ B – разность множеств A и B.
- знак включения.
- знак принадлежности.
- дополнение множества.
AxB – декартово произведение множеств A и B.
- конъюнкция.
- дизъюнкция.
- импликация.
- эквиваленция.
(x) – для всякого x (квантор общности).
(x) – существует x такое, что ... (квантор существования).
( ! x) – существует единственное x такое, что ...
n(A) – число элементов множества A.
- все целые положительные значения от
1 до m.
1. Теория матриц.
1.1. Матрицы и их виды.
Определение 1.1.1. Матрицей размерностью m x n называется множество из m x n чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов.
A
-
когда хотят подчеркнуть размерность.
A=
-
номер строки
-
номер столбца
А=
-
развернутая запись.
Если m = n – то матрица называется квадратной, а число n- ee порядком.
Типы матриц.
a) Матрица А
называется диагональной, если а
=0
при i = j:
A=
б) Если у
диагональной матрицы а
=а
=…=a
=
чч
, то матрица А называется
скалярной
А=
,
I=
в) Если у скалярной матрицы =1, то матрица называется единичной, и обозначается: E, I .
г) Матрица, все элементы которой равны 0, называется нулевой.
д) Матрица А
называется верхней (нижней) треугольной,
если а
=0
при i>j (i<j).
1.2. Действия над матрицами.
Определение
1.2.1. Матрицы А и В одинаковой размерности
называются равными, если а
=b
для
всех
и
.
A
=B
a
=b
,
;
.
Определение
1.2.2. Суммой матриц А
и B
называется матрица С
=А
+В
элементы которой определяются как:
A
с
=a
+b
,
;
.
Знаки:
- любой,
- существует
Свойства операции сложения матриц.
1). A+B=B+A, A,B. (Коммутативность)
2). (A+B)+C=A+(B+C), ,A,B,C, (ассоциативность)
3).
A+0=A.
4). Для А противоположная матрица:-A, A+(-A)=0.
Пример1.2.1.: Найти сумму матриц A+B:
A
=
;B
=
C
=A
+B
=
=
.
Определение
1.2.3. Произведением матрицы А
на число называется
матрица С=
А
элементы которой определяются как:
С
=
а
.
A
=
a
;
i=1,m; j=1,n.
Свойства операции умножения матрицы на число.
1). ()A=(A), ,иA.
2). 1A=A, A
3). (-1) A=-A, A
4). (+)A=A+A, ,, A.
5). (A+B)=A+B для A,B одинаковой размерности.
Пример 1.2.2.: Умножить матрицу на = 7:
7
=
Определение
1.2.4. Произведением матрицы А
на матрицу B
называется матрица С
,
элементы которой определяются как:
C
=A
B
(C
)=
a
b
,
;
.
Для того чтобы найти элемент матрицы С, стоящий в i-ой строке и j-ом столбце нужно элемент i-ой строки матрицы А умножить на соответствующий элемент j-го столбца матрицы В и полученное произведение сложить.
i-ая строка
А
j-й столбец В
Отсюда следует, что произведение возможно если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.
Если матрицы одного и того же порядка то произведение всегда существует.
Пример 1.2.3.
Выполнить умножение матриц:
=
=
Свойства умножения матриц:
1). (AB) C=A (BC), (ассоциативность)
2). (AB)=( A) B=A (B).
3). A (B+C)=AB+AC, (дистрибутивность)
4). ABBA, умножение матриц не коммутативно.
Определение 1.2.5. Матрицы для которых АВ=ВА называются коммутирующими или перестановочными.
Пример 1.2.4. Проверить свойство 4.
AB=
=
=>ABBA
BA=
=