6.4. Прямая и плоскость в пространстве

Для определения взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве достаточно установить, параллельна ли прямая lплоскости  или нет. Если нет, то в какой точке пересекает ее и под каким углом.

6.4.1. Пересечение прямой и плоскости в пространстве r3

Пусть в пространстве R³ даны своими уравнениями прямая l и плоскость :

Определим точку пересечения прямой с плоскостью. Перейдем к параметрическому виду задания прямойl:

, , (6.30.)

Найдем значение t соответствующее точке пересечения прямой и плоскости. Так как по условию прямая пересекает плоскость, то

(6.30.) подставим в уравнение плоскости, найдем параметр t для точки пересечения по формуле:

.

Подставив t в каждое из уравнений (6.30.) получим координаты искомой точки.

Пример 6.4.1. Найти точку пересечения прямой с плоскостью .

Решение: Перейдем от канонического задания прямой к параметрической форме; подставим x,y,z в уравнение плоскости и найдем t:

, , , .

Подставим t в параметрическое уравнение:

.

Ответ: M(16;37;34).

6.4.2.Условие параллельности и перпендикулярности прямой и

плоскости

Пусть в R³даны прямая l и плоскость :

Выясним условия параллельности и перппендикулярности прямой и плоскости, опираясь на взаимное расположение вектора нормали и направляющего вектора прямой.

_{Если прямая и плоскость параллельны (}см. Рис.6.11.), то

_{В координатной форме: (6.31.)}

Если прямая l и плоскость  перпендикулярны (см.Рис.6.12.), то коллинеарные (6.32.)

Условия (6.31.) и (6.32.) называются соответственно условиями параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.

Рис.6.11. Рис.6.12.

Пример 6.4.2. Доказать, что прямая

и плоскость параллельны.

Решение: Найдем направляющий вектор прямой:

нормальный вектор плоскости имеет координаты:

Проверим условие (6.31.) .

Ответ: Прямая и плоскость параллельны.

6.4.3.Угол между прямой и плоскостью

Под углом между прямой и плоскостью понимается любой из двух смежных углов, образованных прямой и ее проекцией на плоскость (Рис.6.13.). Обозначим один из углов между прямой и ее проекцией через . А угол между нормальным вектором и направляющим вектором прямой через :

,

Рис.6.13.

В координатной форме: ,

(6.33)

Контрольные вопросы и задания.

1. Как найти точку пересечения прямой с плоскостью?

2. Что понимают под углом между прямой и плоскостью?

3. Назовите условия перпендикулярности и параллельности прямой и плоскости.

4. Как найти проекцию точки на плоскость?

5. Записать уравнение плоскости, проходящей через две данные точки параллельно данной прямой.

Задачи для самостоятельной работы.

1. Записать уравнение плоскости, проходящей через данную точку параллельно двум данным прямым.

2. Написать уравнение плоскости, проходящей через начало системы координат и линию пересечения плоскостей 2x+5y-6z+4=0 и 3y+2z+6=0.

3. Определить величину угла между прямой (x+3)/1=(y-2)/(-2)=(z+1)/2 и плоскостью 4x+2y+2z-5=0.

4. Найти точку пересечения прямой и плоскости:

1. 

2. 

5. Доказать, что прямые x=2+4t, y=-6t, z=-1-8t и x=7-6t, y=2+9t, z=12t лежат в одной плоскости, и написать уравнение этой плоскости.

6. Найти проекцию точки A(1,2,-3) на плоскость 6x-y+3z-41=0.

7. Найти точку симметричную точке A(2,7,1) относительно плоскости x-4y+z+7=0.