6.2.3. Уравнение плоскости в отрезках

Рассмотрим уравнение (6.15.). Пусть _{, разделим обе части на D получим: уравнение} , обозначим:

; ; ,

_{Получим уравнение плоскости в отрезках:} (6.16)

плоскость пересекает ось в точке

ось в точке

ось в точке

Пример 6.2.1. Составить уравнение плоскости проходящей через точку параллельно векторам и .

Решение: Запишем уравнение плоскости (6.14.), проходящей через точку M: .

Найдем координаты {A,B,C} нормального вектора, который перпендикулярен векторам и :

.

.

.

6.2.4. Уравнение плоскости проходящей через три точки

Пусть в пространстве R3 даны три точки не лежащие на одной прямой. Выберем в этом пространстве произвольную точку M(x,y,z) и построим три вектора: .

_{Рис 6.8.}

Рассмотрим:

Эти векторы компланарны, поэтому их смешанное произведение равно нулю.

_{или в координатной форме:}

(6.17.)

Называется уравнением плоскости проходящей через три точки.

Пример 6.2.2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно плоскостям , .

Решение : Запишем координаты нормальных векторов данных плоскостей Возьмем произвольную точку N(x,y,z), принадлежащую искомой плоскости, тогда координаты вектора . Вектора , и компланарны. Условие компланарности в координатной форме определит уравнение плоскости:

6.2.5.Угол между двумя плоскостями

Пусть в пространстве R3 заданы две плоскости:

_и

_{их нормальные вектора имеют координаты:}

Векторы и перпендикулярны соответственно данным плоскостям, поэтому угол между и равен двухгранному углу между данными плоскостями.

Угол между векторами определяется из (6.18.)

достаточно считать, что .

6.2.6. Условия перпендикулярности и параллельности плоскостей

Условие перпендикулярности:

Ю _(6.19.)

Плоскости параллельны тогда и только тогда когда векторы и коллинеарны т.е. выполняется условие:

Пример 6.2.3. Найти уравнение плоскости проходящей через точку параллельно плоскости:

_{Решение: Плоскость проходит через т.}M, следовательно, т.M удовлетворяет уравнению (6.14.)

_{Найдем координаты нормального вектора,}

_{т.к.параллелен} , то их координаты пропорциональны:

Ю

Найденные координаты подставим в записанное еще уравнение:

_{, упростим:} .

6.2.7. Расстояние от точки до плоскости

Расстояние от т.до плоскости  находится по формуле:

Рис.6.9.

(6.21.)

Пример 6.2.4. Найти расстояние между двумя параллельными плоскостями:

_{Решение: На плоскости} ₁ возьмем точку _,

_{расстояние от т.M до плоскости 2:}

лин. ед., есть расстояние между двумя плоскостями.

Контрольные вопросы и задания.

1. Какой вектор называется нормальным вектором плоскости?

2. Чем определяется положение плоскости в пространстве R³?

3. Составьте уравнение плоскости по точке и нормальному вектору.

4. Составьте уравнение плоскости по трем точкам.

5. Запишите общее уравнение плоскости.

6. Как определить угол между двумя плоскостями?

7. Запишите условие параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.

Задачи для самостоятельной работы.

1. Составить уравнение плоскости, проходящей через:

1. точку M(1,-1,2) параллельно плоскости OXZ;

2. точку M(4i-j+2k) и ось OX;

3. две точки M₁(7,2,-3) и M₂(5,6,-4) параллельно оси OX.

2. Найти точки пересечения плоскости 2x – y +3z – 6 = 0 с осями координат.

3. Вычислить объем V пирамиды, ограниченной плоскостью 2x – 3y + 6z – 12 = 0 и координатными плоскостями.

4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M(1,2,-1) перпендикулярно к вектору n={1,1,2} .

5. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку M₀(i-k) параллельно векторам a = 5i + k и b = j - k .

6. Составить уравнение плоскости, зная три ее точки A(1,-3,2), B(5,1,-4) и C(2,0,3) .