6. Элементы аналитической геометрии.

6.1. Прямая на плоскости.

Пусть на плоскости дана прямоугольная декартовая система координат и некоторая прямая

_Рис.6.1.

_{В качестве параметра характеризующего положение на плоскости невертикальной прямой берут величину тангенса угла  между прямой и осью Ox.}

— угловой коэффициент или тангенс угла наклона прямой к оси 0x.

Если даны две точки прямой и , то угловой коэффициент определяется формулой.

Рис.6.2.

Уравнение y=kx+b (6.1.) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Всякое уравнение первой степени относительно x и y определяет на плоскости прямую.

, (6.2.)

, .

Задача 6.1. Написать уравнение прямой с угловым коэффициентом k, проходящий через данную точку .

Решение: Запишем уравнение (6.1.), т.к. прямая проходит через т. _{ее координаты удовлетворяют уравнению (6.1.) , получим}

(6.3.)

Вычтем из уравнения (6.1.) уравнение (6.3.) получим искомое уравнение: (6.4.)

Задача 6.2. Написать уравнение прямой проходящей через заданные точки , .

Решение: Пусть прямая проходит через т.M₁, ее координаты удовлетворяют уравнению (6.4.)

. (6.5.)

Прямая проходит через т. , следовательно ее координаты также удовлетворяют уравнению (6.5.), т.е. выполняется равенство:

(6.6.)

Разделим (6.5.) на (6.6.) получим искомое уравнение:

Уравнение прямой в отрезках

Запишем уравнение прямой (6.2.). Перенесем свободный член в правую часть:

_{, разделим на (-C) обе части уравнения}

Пусть , , , , . Ю

_Рис.6.3.

Параметры a и b определяют отрезки, которые отсекает прямая на осях координат (Рис.6.3.)

Угол между двумя прямыми

Пусть прямыеl₁ и l₂ заданы уравнениями с угловыми коэффициентами k₁ и k₂: y=k₁x+b и y=k₂x+b₂

_{, , - величины углов наклона прямых} l₁ и l₂ соответственно величина угла между прямыми

По известной тригонометрической формуле:

Рис.6.4.

Формула определяет также углы между двумя прямыми:

Условия параллельности и перпендикулярности прямых

1) Пусть прямые и параллельны , из (6.9.) следует:

Ю

_{Следовательно, если прямые паралллельны, то их угловые коэффициенты равны.}

2) Пусть прямые и перпендикулярны, т.е.

в этом случае _или

Ю

Ю

является условием перпендикулярности двух прямых.

Пример 6.1. Найти угол между прямыми

Решение: Найдем угловые коэффициенты прямых

;

_{Применим формулу (6.9.)}

Расстояние от точки до прямой

Пусть имеем общее уравнение прямой и т.M₀.

,

_{Расстояние от точки до прямой вычисляется по формуле:}

Пример 6.2. Найти длину высоты в треугольнике с вершинами , , .

Рис. 6.5.

Решение: Найдем уравнение прямой AC применив формулу (6.7.).

Ю

_{Расстояние от т.B до прямой AC есть длина высоты BK, применим формулу (6.11.)}

лин. ед.

Контрольные вопросы и задания.

1. Напишите уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом.

2. Выведите уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

3. Запишите уравнение прямой в отрезках.

4. Определите угловой коэффициент прямой из общего уравнения этой прямой.

5. Как определить угол между двумя прямыми?

6. При каких условиях две прямые параллельны и перпендикулярны?

7. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку M₀(x₀y₀) и составляющей угол величиной с данной прямой y=a₁x+b₁.

Задачи для самостоятельной работы.

1. Площадь S треугольника равна 8 кв.единицам; две его вершины суть точки A(1,-2) и B(2,3), третья вершина Cлежит на прямой 2x+y-2=0. Определить координаты вершины C.

2. Дан ромб, диагонали которого 6 и 12. Найти уравнения всех его сторон, зная, что оси координат направлены по диагоналям ромба из точки их пересечения.

3. При каких AпрямаяAx+8y-20=0 отсекает на координатных осях отрезки равной длины?

4. Составить уравнение прямой, проходящей через начало системы координат и точку (-1, -8).

5. Написать уравнение сторон равнобочной трапеции, зная, что основания ее равны 10 и 6, а боковые стороны образуют с основанием угол 60 . За оси системы координат взяты: большое основание и ось симметрии трапеции.

6. Даны три точки (5,2), (9,4), (7,3). Показать, что они лежат на одной прямой, и написать ее уравнение.

7. Даны две точки A(-3,8) и B(2,2). Но оси абсцисс найти такую точку M, чтобы ломанаяAMB имела наименьшую длину.

8. Стороны треугольника ABC лежат на прямых3x-y=0(AB), x+4y-2=0 (BC) и 2x+7y=0 (AC). Найти величину угла между высотой, проведенной из вершины B, и стороной AB.

9. Даны уравнения 7x-y+4=0 иx+y-2=0 боковых сторон равнобедренного треугольника и точка (3,5) на его основании. Составить уравнение основания.

10. Даны середины M₁(2,3), M₂(-1,2) иM₃(4,5) сторон треугольника. Составить уравнения его сторон.

11. Написать уравнения перпендикуляров к прямой 3x+5y-15=0, проходящих через концы отрезков, отсекаемых этой прямой на осях координат.

12. Найти расстояние от точки (2,5)до прямой 6x+8y-5=0.

13. Найти расстояние между двумя параллельными прямыми 3x+4y-18=0 и 3x+4y+43=0.

6.2. Плоскость в пространстве R³

Положение плоскости  в пространстве R³ определяется заданием: а) любых трех точек, не лежащих на одной прямой; б точки плоскости и вектора , перпендикулярного плоскости.

6.2.1. Уравнение плоскости в нормальном виде.

Рассмотрим т. M(x,y,z) плоскости, пусть - единичный вектор, имеющий направление перпендикуляра, опущенного на плоскость из начала координат; ,, - углы, образованные этим перпендикляром с осями координат OX,OY,OZ, p - длина этого перпендикуляра.

_{, , ,}

_{При переходе к координатам уравнение принимает вид:}

_Рис.6.6.

6.2.2. Векторные уравнения плоскости

Пусть плоскость проходит через точку M₀(x₀y₀z₀) и перпендикулярно ненулевому вектору . (Рис.6.7.)

Этот вектор называется нормальным вектором (или нормалью) плоскости

Требуется составить уравнение плоскости проходящей через точку и с данным нормальным вектором.

Ю

Рис.6.7.

из треугольника OM₀M следует, что

(6.13.) — векторное уравнение плоскости.

Пусть M₀(x₀y₀z₀ (фиксированная)M(x,y,z) - текущая

_{тогда запишем (6.13) в координатной форме:}

(6.14.)

Уравнение плоскости в координатной форме.

Раскрывая скобки в (6.14.) уравнению можно придать вид:

(6.15.) - общее уравнение плоскости, где_.