5. 8. Смешанное произведение трех векторов

Пусть даны три вектора . Вектор умножается векторно на , полученное векторное произведение умножим скалярно на, в результате получим число, которое называют векторно-скалярным или смешанным произведением трех векторов .

Определение 5.8.1. Смешанным произведением векторов называется число, равное скалярному произведению вектора на вектор : , или или.

Геометрический смыл смешанного произведения

Теорема 5.8.1. Смешанное произведение трех некомланарных векторов , равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому со знаком плюс, если тройка () правая, и со знаком минус, если эта тройка — левая.

Доказательство: Сначала рассмотрим случай, когда вектора лежат на одной прямой. В этом случае , значит и . Если же вектора не лежат на одной прямой и вектор лежит в плоскости, определенной векторами , то вектор ортоганален вектору и, следовательно, . Пусть вектора не лежат в одной плоскости и образуют правую тройку. На векторах, как на ребрах, построим параллелепипед.

По определению скалярного произведения

_{S- площадь основания OBDA, H – высота параллелепипеда.}

Если то и

_{Окончательно:} или

Рис.5.8.

5.9. Свойства смешанного произведения

1) Для того чтобы вектора были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение равнялось нулю.

Рис.5.9.

2) Для любых векторов

_или

Смешанное произведение не изменяется при круговой перестановке векторов и и меняет свой знак при других перестановках

Рис.5.10.

Правило проще запомнить с помощью рисунков 5.10.

3) Смешанное произведение дистрибутивно:

.

4) Ассоциативно относительно умножения на число

_{, ,} .

5) Смешанное произведение в координатной форме

Пусть даны вектора в разложении по базису _{, ,}

.

Отсюда следует условие компланарности векторов в координатной форме: .

Пример5.9.1. Показать что векторы , , компланарны.

Решение: Составим определитель из координат данных векторов и найдем его значение.

.

Ответ: Вектора компланарны.

Контрольные вопросы и задания.

1. Дайте определение смешанного произведения.

2. Перечислите свойства смешанного произведения.

3. Геометрический смысл смешанного произведения.

4. Запищите условие компланарности трех векторов в координатной форме.

5. Определить какой является тройка ортов прямоугольной декартовой системы координат.

6. Вывести условие принадлежности четырех точек одной плоскости.

7. Доказать компланарность векторов,зная что

Задачи для самостоятельной работы.

1. Вычислить объем Vтетраэдра, вершины которого находятся в точках A(2,-1,1), B(5,5,4) C(3,2,-1) и D(4,1,3).

2. Вектор c перпендикулярен векторам a и b , величина угла между которыми равна 30˚. Зная, что , вычислить abc.

3. Проверить, компланарны ли данные векторы:

1) p = {2,-1,2}, q = {1,2,-3}, r = {3,-4,7};

2) p = -2i - 3j - 4k, q = 3i + 4j + 5k, r = 3i + 3j + 3k .

4. Вычислить высоту параллелепипеда, построенного на векторах a=i+2j-3k, b=-i+j+2k и c=2i-j-k. За основание взят параллелограмм, построенный на векторах a и b.

5. Вычислить объем тетраэдра, вершины которого расположены в точках A(2,-1,-1), B(5,-1,2), C(3,0,-3), D(6,0,-1) .

6. Найти длину высоты AH тетраэдра ABCD , вершины которого находятся в точках A(2,-4,5), B(-1,-3,4), C(5,5,-1), D(1,-2,2) .