4.6. Ортогональность векторов в Еп.

Определение 4.6.1.

Вектора называются ортогональными если (x,y)=0.

Определение 4.6.2.

Система векторов называется ортогональной , если вектора попарно ортогональны .

Определение 4.6.3.

Ортогональная система x₁,…,x_k называется ортонормированной , если пx_1п=…=пx_nп=1

Определение 4.6.4.

базис l₁…l_n пространства Е^п называется ортонормированным если

Пример 4.6.1. В линейном пространстве Rⁿ

базис

……………..

является ортонормированным базисом

Выберем в R³ произвольную точку M и построим вектор координата т. M (x,y,z) есть координата вектора (см.Рис.4.6.).

Рис. 4.6.

В линейном пространстве V₃ базис является ортонормированным. Упорядоченная тройка векторов называется правой, если кратчайший поворот от вектора к вектору виден из конца вектора против часовой стрелки.

– единичные орты ,

_{Тогда вектор представлен в разложении по базису векторов .}

_{Совокупность т. О и базисных векторов называется прямоугольной системой координат в пространстве R3.}

Введение ортонормированного базиса позволяет вычисления скалярного произведения свести к числовым выражениям.

Контрольные вопросы и задания.

1. Что такое линейное пространство?

2. Может ли линейное пространство состоять из: а) двух элементов; б) одного элемента; в) 100 элементов?

3. Образует ли линейное пространство множество всех действительных чисел с обычными (известными из школьного курса) операциями сложения и умножения на число из поля: а) K₀ ; б) K рациональных чисел ?

4. Могут ли в линейном пространстве существовать два нулевых элемента?

5. Что понимается под операцией вычитания в линейном пространстве?

6. Справедливо ли равенствоθ = - θ ?

7. Пусть x - некоторый элемент линейного пространства над полем K, а b -число из поля K. Что можно сказать о x и b , если известно, что bx = θ ?

8. Какие элементы линейного пространства называются линейно независимыми?

9. Можно ли утверждать, что элементы e₁,e₂, ... ,e_n линейного пространства R линейно независимы, если данный элемент x линейного пространства R единственным образом выражается в виде линейной комбинации указанных n элементов ?

10. Пусть в линейном пространстве R даны n линейно независимых элементов e₁,e₂, ... ,e_n . Что еще надо потребовать, чтобы указанная совокупность элементов была базисом в данном линейном пространстве ?

11. С какой целью вводится базис в линейном пространстве?

12. Сколько базисов имеется в каждом линейном пространстве?

13. Пусть в линейном пространстве даныn линейно независимых элементов. Что еще надо потребовать, чтобы размерность этого линейного пространства была равна n ?

14. Как связаны между собой размерность линейного пространства и число элементов в базисе этого линейного пространства? Является ли это соответствие взаимным?

15. Что называется скалярным произведением элементов x, y в евклидовом пространстве?

16. Как определяется угол между элементами евклидова пространства?

17. Как запишется скалярное произведение элементов x, y из евклидова пространства в произвольном базисе , если известны координаты этих элементов в базисе ?

18. Докажите, что если ненулевые элементы x,y из евклидова пространства ортогональны, то они линейно независимы. Верно ли обратное утверждение?

19. Как с помощью произвольного базиса евклидова пространства построить ортонормированный базис?

20. Сколько ортонормированных базисов можно указать в евклидовом пространстве ?

21. Как в ортонормированном базисе запишется скалярное произведение элементов x, y ?

Задачи и упражнения для самостоятельной работы.

1. Докажите, что в евклидовом пространстве : а) если (x,y)=0 для каждого элемента , то ; б) если (x,y)=(x,z) для каждого элемента , то y=z .

2. Докажите теорему Пифагора в евклидовом пространстве: если (x,y)=0, то . Сформулируйте и докажите обратную теорему.

3. Дан n- мерный куб с ребром единичной длины.

а) Какие элементы евклидова пространства можно считать диагоналями куба?

б) Найдите длины диагоналей куба.

в) Найдите угол между диагональю и ребром, выходящими из одной вершины куба.

4. Пусть в евклидовом пространстве дан ортогональный базис . Докажите, что для любого x из его координаты вычисляются по формуле .

5. Докажите, что для любого x из евклидова пространства выполняется равенство .

6. Пусть в линейном пространстве R₂ фиксирован базис и произвольные элементы x, y имеют разложения .

а) Можно ли в линейном пространстве R₂ ввести скалярное произведение по формуле:

1⁰) 2⁰)

3⁰)

б) Вычислите скалярное произведение многочленов f₁(x)=1+x и f₂(x)=-3x, их длины и угол между ними в случаях 2⁰ и 3⁰ п. а), если в пространстве P₁ фиксирован базис : e₁=1, e₂=1+x.

7. Покажите, что в любом линейном пространстве R_n при фиксированном базисе можно ввести скалярное произведение по формуле , где .

8. Пусть y – фиксированный элемент эвклидова пространства , a – фиксированное действительное число. Является ли множество всех элементов x , для которых (x,y)=a, линейным подпространством пространства ?

9. Линейно-зависимы или линейно не зависимы вектора?

а) б)

в) г)

10. Найти все значения , при которых вектор линейно выражается через вектора .

А) б)

10. Найти координаты вектора в базисе