4.3. Базис и размерность линейного пространства.

Определение 4.3.1.

Пусть W-линейное пространство. Система векторов Є W называется базисом линейного пространства W, если :

1) - линейно независима, и

2)

Определение 4.3.2.

Число векторов базиса называется размерностью линейного пространства и обозначается как dimW.

DimV₂=2 DimV₃=3

В n-мерном пространстве любая линейно независимая система из n-векторов образует его базис , поэтому базисов у линейного пространства существует бесконечно много.

Определение 4.3.3.

Базисом на плоскости называются любые два линейно независимых вектора.Из теоремы 4.2.2. следует, что " два неколлиниарных вектора образуют базис.

Если вектор представлен в виде , то говорят, что он разложен по базису образованному векторами

Определение 4.3.4.

_{Базисом в трёхмерном пространстве называется три линейно незав}исимых вектора Любой вектор однозначно разлагается по векторам базиса т.е. выполняется соотношение :_,

_{расположен по базису образованному векторами}

4.4. Координаты вектора

Определение 4.4.1.

Коэффициенты разложения вектора в базисе [] линейного пространства W называют коэффициентами вектора x в этом базисе

координаты вектора запишем как:

или _или

Теорема 4.4.1.

При сложении векторов их координаты в заданном базисе складываются , при умножении на число – умножаются на это число .

Доказательство:

Пример 4.4.1.

Выяснить линейно зависимы или линейно независимы вектора в R⁴

={1,1,1,1}, ={1,2,1,1}, ={1,1,2,1}

Составим матрицу и определим её ранг

значит– линейно независимые вектора .

Если rang(A) < min( m , n ), то какая либо строка или столбец матрицы линейная комбинация других строк или столбцов т.е. вектора линейно зависимы . Чтобы ответить на вопрос образуют ли вектора базис , нужно ответить на вопрос линейной зависимости или независимости вектора и учесть , что базис в Rⁿ образуют любые n линейно независимых векторов .

Пример 4.4.2.

Образуют ли вектора ={1,1,1}, ={1,1,2}, ={1,2,3} базис в R³

Составим матрицу и приведем ее к треугольному виду:

следовательно линейно независимые и образуют базис .

Задача 4.4.1. Найти координаты вектора =( x₁ x₂ … x_n) в базисе () пространства Rⁿ. Где

= (l₁₁ l₁₂ …l_1n), ......... =(l_n1 l_n2 …l_nn) если () образуют базис то

в матричном виде:

т.е. чтобы найти необходимо решить систему уравнений относительно координат с расширенной матрицей:

координаты должны однозначно определять вектор , система должна иметь единственное решение, т.к. является Крамеровской.

Пример 4.4.3. Найти координаты вектора в базисе пример 4.4.2.

Решение: Запишем в разложении по базису:

_{Перейдем к системе и решим методом Гаусса:}

Ответ: Координата вектора в базисе :{1;2;3}

4.5. Евклидово пространство

Определение 4.5.1.

Линейное пространство Еⁿ называется евклидовым если в этом пространстве введена операция скалярного умножения векторов, ставящая в соответствие " Є R однозначно определённое число (x,y) Є R , называемое скалярным произведением векторов и и удовлетворяющая следующим аксиомам :

1)

2)

3)

4)

Линейные пространства V₂ и V₃ являются евклидовыми пространствами если операцию скалярного умножения определить как

где j- угол между векторами.

когда один из векторов равен нулю или cosj =0Юj=p/2