4. Линейные векторные пространства

4.1 Понятие линейного пространства

Пусть дано непустое множество W элементов x,y,z, .... и множество всех действительных чисел R .

Определение 4.1.1. Множество W называется линейным пространством, если в нем введены: операция сложения , ставящая в соответствие любой паре элементов (x , у) Є W однозначно определенный элемент (x + у) Є W , называемый суммой элементов x+y, и операция умножения на число , ставящая в соответствие "х Є W и "a Є R однозначно определенный элемент aх Є W , называемый произведением элемента х на число a , причем выполняются следующие равенства:

1) х+у=у+х , "x , у Є W

2)(x+y)+z=x+( y+z) "x , y , z Є W

3) $ элемент Q ,называемый нулевым , такой что x+Q=x "x Є W

4)"x Є W, $ -x Є W: x+(-x)=Q

5)1x=x , "x Є W

6)a(bx)= (ba)x , "x Є W

7) (a+b)x= ax+bx , "x Є W

8) a(x+y)= ax+ay , "x Є W

Эти равенства получили название аксиом линейного пространства. Элементы линейного пространства принято называть векторами. Понятие линейного пространства как обобщение уже известных множеств объектов, в которых введены операции сложения и умножения , удовлетворяющие выше описанным аксиомам.

Наиболее известными примерами линейных пространств является множества векторов на плоскости (V₂) и в пространстве (V₃). Кратко напомним , что элементами множеств V₂ и V₃ являются направленные отрезки сложение которых осуществляется по правилу параллелограмма или треугольника.

Рис.4.2.

Рис. 4.1.

Рис.4.3.

Вектора лежащие на одной или параллельных прямых называются коллинеарными, а вектора лежащие параллельных плоскостях – компланарные.

Умножение вектора на число.

Произведением вектора на число l называется вектор , коллинеарный вектору и имеющий длину =ЅlЅЅЅи тоже на-

правление , что и если l>0 и противоположное если l<0 .

Отсюда следует что если =l, то вектора коллинеарны.

Роль нулевого элемента выполняет ноль – вектор , длина которого

ЅЅ=0. Противоположным для вектора будет вектор

: сам вектор имеет противоположное направление.

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным

ЅЅ=1. Единичный вектор называется ортом.

Каждый вектор равен произведению его модуля на единичный вектор того же направления

Вектора равны если один может быть получен из другого путем параллельного переноса.

Следующим , весьма важным , примером линейного пространства является арифметическое пространство Rⁿ .Элементами этого пространства являются упорядоченные наборы и вещественных чисел x=(x₁ x₂ . . . x_n) Є Rⁿ , для которых операции сложения умножения на число определяются следующим образом :

x+y=(x₁+y₁, x₂+y₂, … , x_n+y_n)

Понятие линейного пространства было введено для того , чтобы не изучать каждое новое множество в отдельности .

4.2 Линейная зависимость системы векторов

Пусть даны векторы x₁, x₂, x₃ … x_k Є W и числа a_i Є R , i=

Определение4.2.1. Линейная комбинация векторов x₁,x₂ … x_k Є W

a₁х₁+a₂х₂+ … + a_kх_k

называется тривиальной, если все a_i=0 . Если $ хотя бы один a_i№0 то линейная комбинация называется нетривиальной .

Определение4.2.2.

Система векторов x₁,x₂ … x_k называется линейно зависимой если $ не тривиальная линейная комбинация векторов равная нулевому вектору .

Система называется линейно независимой если нулевому вектору равна только тривиальная линейная комбинация .

Теорема 4.2.1.

Система векторов x₁,x₂ … x_k линейно зависима когда хотя бы один из векторов этой системы линейно выражается через другие .

Доказательство: Пусть дана линейно зависимая система векторов:

a₁х₁+… +a_iх_i+ … + a_kх_k = q

x₁,x₂ … x_k- линейно зависима Юa_i№0 , выразим x_i

, пусть

тогда , т.е. x_iпредставлен в виде линейной комбинации векторов x₁....x_k , что требовалось доказать.

В геометрических пространствах V₂ и V₃ понятия коллинеарность и компланарность обозначают линейную зависимость векторов .

Теорема 4.2.2.

Всякие три вектора на плоскости линейно зависимы .

Доказательство:

Достаточно убедиться в том что один из векторов является линейной комбинацией остальных .

Пусть среди данных векторов не ни одной пары коллинеарных. Приведем их к общему началу

Рис.4.4.

т.е. есть линейная комбинация и

Докажем что представление единственно методом от противного:

Пусть ,

если то т.е. вектора коллинеарные, мы пришли к противоречию, следовательно, наше предположение неверно.

Следствие.

Для того чтобы два вектора и были линейно независимы , необходимо и достаточно , чтобы они были неколлиниарны .

Теорема 4.2.3.

Всякие четыре вектора в пространстве линейно зависимы .

Доказательство:

а)Среди этих векторов существует тройка компланарных , например а,в,с, тогда по теореме 4.2.1. для всех четырех т.е. - есть линейная комбинация .

б)Произвольно расположенные вектора приведём к общему началу. Через точку М конец вектора проведём плоскости соответственно параллельные трём плоскостям, определяемым парами векторов (Рис.4.5.)

Рис.4.5.

Получим параллелепипед диагональю которого является вектор _.Очевидно :

следовательно:

есть линейная комбинация ,т.е. вектора линейно зависимы .

Можно также показать:

1)Если число данных векторов в пространстве больше четырех , то они также линейно зависимы .

2)Для того чтобы три вектора в пространстве были компланарны необходимо и достаточно , чтобы они были линейно зависимы .

3)Для того чтобы три вектора были линейно независимы , необходимо и достаточно чтобы они были некомпланарны.

Максимальное число линейно независимых векторов в пространстве равно трем.