- •Методическое пособие
- •Введение
- •Теория вопроса
- •Погрешности исходных данных
- •Погрешности вычислений
- •Погрешности ограничения
- •Посмотрите, сколько значащих цифр осталось?
- •Индивидуальные задания и последовательность выполнения работы
- •Исходные данные к выполнению работы Таблица 1
- •Контрольные вопросы
- •Табулирование функций
- •Теория вопроса
- •Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока значения х1(k), х2(k), х3(k) не станут близкими с заданной погрешностью к значениям х1(k-1), х2(k-1), х3(k-1).
- •Изменим знаки у элементов с нечетной суммой индексов, тогда
- •Зададим начальное приближение
- •Исключим переменную х2 из третьего уравнения системы. Для этого умножим на 0,5 и вычтем из третьего уравнения. Получим новую систему эквивалентную двум предыдущим:
- •Вычислим первые приближения
- •Индивидуальные задания и последовательность выполнения работы
- •Варианты для лабораторных работ
- •Контрольные вопросы
- •Теория вопроса
- •Индивидуальные задания и последовательность выполнения работы
- •Теория вопроса
- •Индивидуальные задания и последовательность выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Теория вопроса
- •Индивидуальные задания и последовательность выполнения работы
- •Исходные данные к выполнению работы Таблица 5
- •Контрольные вопросы:
- •Теория вопроса
- •Решением дифференциального уравнения является неизвестная функция
- •Индивидуальные задания и последовательность выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Рекомендуемая литература
Зададим начальное приближение
х1(0) = 1, х2(0) = -1, х3(0).= 5
Отметим, что нет общего правила выбора начального приближения. Если он удачный и решение системы существует, то итерационный процесс сходится к точному решению. При неудачном выборе начального приближения, итерационный процесс может расходиться и получить решение системы не удается. В этом случае надо выбрать другое начальное приближение и попытаться повторить процесс.
Подставляя х1(0), х2(0), х3(0).в правую часть, получаем новое приближение в левой части
х1(0) = -4,5, х2(0) = -3,33, х3(0).= 6
Далее подставляем полученные значения снова в правую часть, получаем новое приближение и т.д. Расчет продолжается до тех пор, пока два соседних приближения не будут отличаться друг от друга менее, чем на заранее заданную точность решения. На рис. 2 показана реализация метода Гаусса-Зейделя в электронных таблицах.
Рис 2 Пример реализации метода Гаусса-Зейделя с помощью электронных таблиц
Рассмотрим еще пример.
Пример 2. Решить систему уравнений методом Гаусса:
2х1 + х2 – 2х3 = 1
х1 + х2 + х3 = 3
х1 + 2х2 - 3х3 = 1
Разделим коэффициенты первого уравнения на коэффициент при х1, т.е. на 2, и получим первое уравнение новой системы:
х1 + 0,5х2 – х3 = 0,5.
Исключим из второго и третьего уравнений исходной системы переменную х1. Для этого полученное уравнение умножим на 1 и вычтем из второго, а затем из третьего уравнений исходной системы (так как коэффициенты при х1 в этих уравнениях равны 1). Получим новую систему эквивалентную исходной:
х1 + 0,5х2 – х3 = 0,5
0,5х2 + 2х3 = 2,5
1,5х2 - 2х3 = 0,5.
Разделим коэффициенты второго уравнения полученной системы на 0,5, получим уравнение
х2 + 4х3 = 5
Исключим переменную х2 из третьего уравнения системы. Для этого умножим на 0,5 и вычтем из третьего уравнения. Получим новую систему эквивалентную двум предыдущим:
х1 + 0,5х2 – х3 = 0,5
х2 + 4х3 = 5
- 8х3 = -7.
Приведение системы к данному виду методом последовательных исключений неизвестных есть прямой ход Гаусса. Легко видеть, что решение системы не вызывает трудностей. Применим к ней обратный ход Гаусса:
х3 = 0,875
х2 = 5 - 4х3
х1 = 0,5 + х3 - 0,5х2
или х3 = 0,875, х2 = 1,5, х1 = 0,625.
Пример 3. Найти решение системы линейных алгебраических уравнений методом Зейделя с точностью Е = 0,001:
4х1 – х2 + х3 = 4
х1 + 6х2 + 2х3 = 9
-х1 – 2х2 + 5х3 = 2
Положим начальное приближение х10=х20=х30=0. Преобразуем исходную систему:
х1 = 1/4*(4 + х2 - х3)
х2 = 1/6*(9 – х1 - 2х3)
х3 = 1/5*(2 + х1 + 2х2).
Вычислим первые приближения
х1(1) = 1/4*(4 + 0 +0) =1
х2(1) = 1/6*(9 – 1 – 2*0) = 4/3
х3(1) = 1/5*(2 + 1 + 2*4/3) =17/15.
Последовательные приближения, вычисленные каждый раз с точностью до четырех значений цифр, запишем в таблицу:
Итерации |
х1 |
х2 |
х3 |
0 1 2 3 4 5
|
0 0.1000*101 0.1050*101 0.9896*100 0.1001*101 0.1000*101
|
0 0.1333*101 0.9473*100 0.1005*101 0.9999*100 0.1000*101
|
0 0.1133*101 0.9889*100 0.9999*100 0.1000*101 0.1000*101
|
Задав Е = 0.001, замечаем, что начиная с 5-й итерации разность между , следовательно, итерационный процесс завершен. Решение найдено:
х1=1; х2=1; х3=1.