Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Мет. пос. Реализация числ. методов решения зада....doc
Скачиваний:
11
Добавлен:
10.11.2018
Размер:
7.19 Mб
Скачать

Зададим начальное приближение

х1(0) = 1, х2(0) = -1, х3(0).= 5

Отметим, что нет общего правила выбора начального приближения. Если он удачный и решение системы существует, то итерационный процесс сходится к точному решению. При неудачном выборе начального приближения, итерационный процесс может расходиться и получить решение системы не удается. В этом случае надо выбрать другое начальное приближение и попытаться повторить процесс.

Подставляя х1(0), х2(0), х3(0).в правую часть, получаем новое приближение в левой части

х1(0) = -4,5, х2(0) = -3,33, х3(0).= 6

Далее подставляем полученные значения снова в правую часть, получаем новое приближение и т.д. Расчет продолжается до тех пор, пока два соседних приближения не будут отличаться друг от друга менее, чем на заранее заданную точность решения. На рис. 2 показана реализация метода Гаусса-Зейделя в электронных таблицах.

Рис 2 Пример реализации метода Гаусса-Зейделя с помощью электронных таблиц

Рассмотрим еще пример.

Пример 2. Решить систему уравнений методом Гаусса:

1 + х2 – 2х3 = 1

х1 + х2 + х3 = 3

х1 + 2х2 - 3х3 = 1

Разделим коэффициенты первого уравнения на коэффициент при х1, т.е. на 2, и получим первое уравнение новой системы:

х1 + 0,5х2 – х3 = 0,5.

Исключим из второго и третьего уравнений исходной системы переменную х1. Для этого полученное уравнение умножим на 1 и вычтем из второго, а затем из третьего уравнений исходной системы (так как коэффициенты при х1 в этих уравнениях равны 1). Получим новую систему эквивалентную исходной:

х1 + 0,5х2 – х3 = 0,5

0,5х2 + 2х3 = 2,5

1,5х2 - 2х3 = 0,5.

Разделим коэффициенты второго уравнения полученной системы на 0,5, получим уравнение

х2 + 4х3 = 5

Исключим переменную х2 из третьего уравнения системы. Для этого умножим на 0,5 и вычтем из третьего уравнения. Получим новую систему эквивалентную двум предыдущим:

х1 + 0,5х2 – х3 = 0,5

х2 + 4х3 = 5

- 8х3 = -7.

Приведение системы к данному виду методом последовательных исключений неизвестных есть прямой ход Гаусса. Легко видеть, что решение системы не вызывает трудностей. Применим к ней обратный ход Гаусса:

х3 = 0,875

х2 = 5 - 4х3

х1 = 0,5 + х3 - 0,5х2

или х3 = 0,875, х2 = 1,5, х1 = 0,625.

Пример 3. Найти решение системы линейных алгебраических уравнений методом Зейделя с точностью Е = 0,001:

1 – х2 + х3 = 4

х1 + 6х2 + 2х3 = 9

1 – 2х2 + 5х3 = 2

Положим начальное приближение х102030=0. Преобразуем исходную систему:

х1 = 1/4*(4 + х2 - х3)

х2 = 1/6*(9 – х1 - 2х3)

х3 = 1/5*(2 + х1 + 2х2).

Вычислим первые приближения

х1(1) = 1/4*(4 + 0 +0) =1

х2(1) = 1/6*(9 – 1 – 2*0) = 4/3

х3(1) = 1/5*(2 + 1 + 2*4/3) =17/15.

Последовательные приближения, вычисленные каждый раз с точностью до четырех значений цифр, запишем в таблицу:

Итерации

х1

х2

х3

0

1

2

3

4

5

0

0.1000*101

0.1050*101

0.9896*100

0.1001*101

0.1000*101

0

0.1333*101

0.9473*100

0.1005*101

0.9999*100

0.1000*101

0

0.1133*101

0.9889*100

0.9999*100

0.1000*101

0.1000*101

Задав Е = 0.001, замечаем, что начиная с 5-й итерации разность между , следовательно, итерационный процесс завершен. Решение найдено:

х1=1; х2=1; х3=1.