2. Погрешности вычислений

Так называют погрешности, которые присутствуют при использовании любого численного метода: вычислении определенного интеграла, аппроксимации функций, нахождении корней уравнения и др. Как правило, такие погрешности могут быть уменьшены до любого разумного значения, сопоставимого или меньшего в несколько раз погрешности исходных данных. Ее дальнейшее снижение заметно усложняет расчеты, не приводя к повышению точности, а создавая лишь видимость высокой точности.

3. Погрешности ограничения

Это погрешности, обусловленные конструкцией ЭВМ. Дело в том, что ячейка памяти ЭВМ, в которой хранятся цифры, имеет конечную последовательность мест для размещения цифр числа (разрядная сетка). Если число содержит большое количество значащих цифр и они не помещаются в разрядной сетке, то часть цифр младших разрядов числа (справа) округляется. В 4-х байтовой ячейке, используемой для хранения вещественных чисел, помещается только семь десятичных разрядов числа. Если ввести число с большим количеством цифр, например А = 3,74259139, то извлечь сможете число А = 3,742591. "Лишние" разряды числа справа отбрасываются с округлением.

Используя Visual Basic наберите в окне отладчика (Immediate):

Х = 173,24375158721378

? Х

--------------------------------

Посмотрите, сколько значащих цифр осталось?

Ограниченность разрядной сетки ЭВМ приводит также к погрешностям при переводе чисел из десятичной системы счисления в двоичную, с которой работает процессор. Например, число 0,1 в двоичной системе является иррациональным 0,000110011001100… . Ограниченность разрядной сетки заставляет отбросить "лишние" младшие разряды, что вносит погрешность в результат. Может случиться, что сложив десять раз число 0,1 мы не получим 1.

Для уменьшения такого рода погрешности при составлении алгоритма необходимо стремиться, чтобы при сложении-вычитании вначале выполнялись операции с меньшими числами, стараться избегать вычитания близких по величине чисел, вдумчиво относиться к результатам расчета на ЭВМ. Результат расчета с большим количеством цифр вовсе не означает высокой точности. Великий немецкий математик К.Гаусс говорил: "Недостаток математического образования с наибольшей отчетливостью проявляется в чрезмерной точности численных расчетов".

Индивидуальные задания и последовательность выполнения работы

Из табл.1 выпишите исходные данные в соответствии с вариантом, указанным преподавателем. Необходимые расчеты производите на ЭВМ в режиме непосредственного счета, используя электронные таблицы.

1. Найдите абсолютную и относительную погрешности приближенных чисел А и В.

2. Произведите запись приближенных чисел А и В в нормализованной форме.

3. Определите количество значащих цифр, содержащихся в приближенных числах А и В.

4. Найдите абсолютную погрешность результата при сложении приближенных чисел А и В.

5. Запишите в нормализованной форме результат вычитания приближенного числа В из приближенного числа А.

6. Запишите в нормализованной форме результат произведения приближенных чисел А и В.

7. Запишите в нормализованной форме результат деления приближенного числа А на приближенное число В.

8. Возведите в куб приближенное число В и запишите результат в нормализованной форме.

9. Извлеките квадратный корень из приближенного числа А и запишите результат и погрешность.

10. Выполните сложение числа 0,01 десять раз. Поясните возникшую погрешность.

11. В электронной таблице разместите числа C и D и найдите суммы приближенных чисел С и D. Поясните погрешность полученного результата.