Индивидуальные задания и последовательность выполнения работы

1. Получить у преподавателя индивидуальное задание по варианту из таблицы индивидуальных заданий.

2. Графическим методом определить корень (корни) уравнения (использовать MS Excel).

3. Разработать алгоритм решения уравнения методом деления отрезка пополам. Используя средства MS Word нарисовать блок-схему алгоритма и встроить ее в рабочий лист MS Excel.

4. Сохранить результат в своей рабочей папке и показать преподавателю.

Индивидуальные задания к выполнению работы Таблица 4

№ варианта	Уравнение	№ варианта	Уравнение
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15	5х-8lnx=8 3x=ex x2+ex=2 2x=4x ex+e-3x=4 =cos(0.387x) 2x=2.2x 3x+cosx = -1 2х-lnx=7 2x=1.3x x2-sinx=0.25 x2x = 1 2-x=cos(1.57x) =1/x x2+0.5sinx=2	16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30	x2-cosx=0 2-x = lnx (x-1)2=0.5ex 2.2x= -2x xex =2 sinx=100 x2- cosx=0 3x- cosx =1 ex –6x = 3 (х+1)3= -lnx x3+2sinx= 2 x2+4sinx=0 2= cos(1.57x) 2.7х-lnx=4.8 x3- cosx =1

Р ис.6. Пример поиска корня уравнения графическим методом

в электронной таблице

На рисунке 6 представлен фрагмент электронной таблицы с графиком функции y=3*x-e^x. Для нахождения корня (корней) табулируют функцию и по этим данным строят график. Сначала просчитывают функцию с большим шагом табуляции и, если визуально обнаруживается, что она имеет корень (корни), то уточняют его (их), уменьшая шаг изменения переменной в блоке ячеек А2-А20. Признаком наличия корня на отрезке является изменение знака функции.

Контрольные вопросы

1. Какие уравнения называются нелинейными?

2. Какие методы решения уравнений называются прямыми и итерационными?

3. Что означает решить уравнение итерационным методом с заданной точностью?

4. Каким образом можно отделить корни уравнения?

5. Расскажите сущность метода уточнения корней уравнений (деление отрезка пополам). Поясните рисунками, схемами алгоритмов.

Лабораторная работа № 5 (2ч.). ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ НА ПЭВМ.

Цель работы: овладение численными методами расчета приближенного значения определенного интеграла с помощью ЭВМ.

Теория вопроса

Значение определенного интеграла вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница, как приращение первообразной функции, при условии, что первообразная функция на отрезке [a,b] выражается через элементарные функции

где F(x) – первообразная подинтегральной функции f(x) на отрезке [a,b]. Функция F(x) называется первообразной функции f(x), если на всем заданном интервале [a,b] f(x) является производной F(x), т.е. F' (x) = f(x).

С другой стороны известно, что численное значение определенного интервала равно площади криволинейной трапеции, определенной с учетом знака функции. Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная осью абсцисс, графиком непрерывной определенной функции на отрезке [a,b] и вертикальными прямыми х=а, х=b.

П ростейший алгоритм приближенного вычисления площади криволинейной трапеции заключается в том, что отрезок [a,b] разбивается на n равных частей длиной h=(b-a)/n. Как видим, криволинейная трапеция разделяется на n узких полос, а ее площадь, очевидно, равна сумме площадей всех этих элементарных полос. Отметим, что любая i-ая элементарная полоса в свою очередь может рассматриваться как криволинейная трапеция. Следовательно, алгоритм нахождения определенного интеграла сводится к алгоритму определения суммы площадей n элементарных криволинейных трапеций и в общем случае может быть представлен в виде:

Для нахождения площади элементарной криволинейной трапеции функции f(x) на участке (x_i, x_i+1) чаще всего аппроксимируют алгебраическим многочленом нулевой (y=a₀), первой (y=a₀+а₁х) или второй (y=a₀+а₁х+ а₂х²) степени, а численные методы вычисления определенного интеграла, основанные на подобной аппроксимации, соответственно называются прямоугольников, трапеций и Симпсона (парабол).

В методе прямоугольников криволинейная трапеция разбивается на n равных полос, а площадь каждой полосы вычисляется как площадь прямоугольника. Различают методы правых, левых и средних прямоугольников, в зависимости от месторасположения начальной точки при вычислении площадей элементарных полос. Квадратурные формулы без учета остаточного члена (погрешности) имеют вид:

для метода левых прямоугольников

для метода правых прямоугольников

для метода средних прямоугольников

В методе трапеций аналогично методу прямоугольников криволинейная трапеция разбивается на n равных полос, а площадь отдельной полосы вычисляется как площадь трапеции высотой h. При этом длина средней линии равна (f(x_i) + f(x_i+1))/2. Квадратурная формула:

В методе Симпсона (парабол) площадь каждой полосы определяется как площадь параболической трапеции. Окончательная квадратурная формула для четного числа разбиений m имеет вид

В качестве примера представим фрагмент программы вычисления определенного интеграла методом трапеций при

Последовательность вычисления значения интеграла S при количестве отрезков N на языке Basic выглядит так:

A=0; B=R

H=(B-A)/N; S=0; X=A

FOR I=1 TO N-1

X=X+H: S=S+ SQR(R*R-X*X)

NEXT I

S=H*( SQR(R*R-А*А)+ SQR(R*R-В*В))+2*S)/2

END

На следующем рисунке 7 представлен фрагмент электронной таблицы с примером вычисления определенного интеграла.

Рис.7. Пример вычисления определенного интеграла методом трапеций

в электронной таблице.