Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока значения х1(k), х2(k), х3(k) не станут близкими с заданной погрешностью к значениям х1(k-1), х2(k-1), х3(k-1).

Система линейных алгебраических уравнений может быть решена также матричным методом.

Рассмотрим матрицу , преобразующую вектор в вектор

=.

Рассмотрим матрицу , определяющую обратное преобразование от нового вектора к прежнему вектору

=.

Иначе говоря, речь идет о двух таблицах коэффициентов, _ik и _ji входящих в линейные соотношения

которые определяют переход от вектора к вектору и обратно. Матрица  называется обратной по отношению к матрице  и обозначается через ^-1.

Коэффициенты _ji можно получить, решив первое уравнение относительно u₁, u₂,…u_j,…,u_n. Они могут быть вычислены по известной формуле Крамера

где  - определитель матрицы ;

А_lj – алгебраическое дополнение соответствующего элемента _ij с множителем (-1)^l+j, определяющим знак А_lj.

На практике вычисление матрицы, обратной , осуществляется так:

1. Транспонировать матрицу .

2. Заменяют каждый элемент транспонированной матрицы определителем, полученным в результате вычеркивания строки и столбца, на которых расположен данный элемент.

3. Этот определитель имеет знак плюс, если сумма индексов элемента четная, и знаком минус, если эта сумма нечетная.

4. Делят полученную матрицу на определитель  матрицы .

Пример 1. Вычислить матрицу, обратную .

транспортируем исходную матрицу  и обозначим ее

.

Заменим каждый элемент определителем, полученным при вычеркивании соответствующей строки и столбца

.

Изменим знаки у элементов с нечетной суммой индексов, тогда

Разделим на =15 и получим

К счастью, современные прикладные пакеты имеют средства, для вычисления обратных матриц. Для нахождения обратной матрицы ЭТ Excel достаточно использовать встроенную функцию МОБР ( ).

Таким образом, чтобы решить систему линейных алгебраических уравнений (где - матрица коэффициентов системы, - матрица свободных членов, - матрица неизвестных), достаточно вычислить обратную матрицу ^-1 и умножить ее на матрицу

=^-1

Покажем на нескольких примерах, как решаются СЛАУ различными методами.

Пример 2. Решить систему линейных алгебраических уравнений методам Гаусса

2х₁+3х₂+4х₃=8

4х₁+9х₂+7х₃=1

2х₁-х₂+х₃=9

1 шаг (прямой ход метода Гаусса). Разделили первое уравнение на коэффициент при x₁

2 шаг. Умножили первое уравнение на –4 и сложили с вторым.

3 шаг. Умножили первое уравнение на –2 и сложили с третьим.

4 шаг. Умножили второе уравнение на 4/3 .

5 шаг. Сложили второе уравнение с третьим.

6 шаг. Вычислили x₃ из третьего уравнения.

7 шаг (обратный ход метода Гаусса). Вычислили x₂ из второго уравнения.

8 шаг. Вычислили x₁ из первого уравнения.

Используя электронную таблицу, подставим полученные значения х₁=0,55;

х₂=-3,54; х₃=4,38 в исходную систему СЛАУ. Если решение найдено верно, то система должна обратиться в тождество. Проведя расчеты с точностью до двух знаков после запятой имеем

8=8

1=1

9,02=9

Последнее тождество выполняется с точностью до 0,02. Если точность решения ниже, чем 0,02, то можно считать, что решение найдено.

Выполним решение этой же системы СЛАУ матричным методом с помощью электронных таблиц. Для этого в рабочей области поместим коэффициенты системы и ее свободные члены в смежных ячейках. Затем обратим исходную главную матрицу системы и умножим ее на матрицу-столбец свободных членов. Полученный результат показан в следующем фрагменте электронной таблицы.

	А	B	C	D	E		Исходная расширенная матрица системы СЛАУ Обращенная матрица Решение исходной СЛАУ
1	2	3	4	8
2	4	9	7	1
3	2	-1	1	9
4
5	-0,654	0,2692	0,5769		0,538462	 Х1
6	-0,386	0,2308	-0,0769		-3,53846	 Х2
7	0,8461	-0,3077	-0,2308		4,384615	 Х3
8

Для обращения и умножения матриц используйте встроенные функции Excel MОБР ( ) и МУМНОЖ ( ). Следует помнить, что эти функции оперируют с массивами. Использование электронных таблиц для решения системы СЛАУ позволяет получить большее число знаков после запятой, по сравнению с расчетом вручную, а значит и более высокую точность.

Мы показали прямые методы решения исходной системы СЛАУ.

Рассмотрим сейчас итерационный метод Гаусса-Зейделя, применительно к той же системе.

Запишем ее в виде: