1. Погрешности исходных данных

Всякое физическое измерение, будь то измерение расстояния, веса или времени, не может быть выполнено абсолютно точно. Если, например, указано, что величина напряжения в сети составляет 223.437В, то можно с уверенностью сказать, что по меньшей мере несколько цифр младших разрядов недостоверны. Если же результат измерения содержит небольшое количество значащих цифр, например, промежуток времени в 2,3 с., то можно быть абсолютно уверенным в том, что величина дана с некоторой ошибкой, так как лишь случайно величина измеряемого интервала времени может составить в точности 2,3 с. В таких случаях подразумеваются некоторые границы, внутри которых эта величина должна находиться, например 2,3±0,1 или 2,3±0,05 с.

Подразумевается, что если для экспериментального результата не указаны его возможные границы, то результат имеет точность половины единицы младшего разряда. Поэтому если дано, что некая длина равна 5,63 см, то это следует понимать так, что эта длина не меньше 5,625 см. и не больше 5,635 см. Когда границы точности результата важны, их указывают в явном виде 5,63±0,005 см. Здесь 0,005 представляет величину абсолютной погрешности числа 5,63, а все цифры числа 5,63 являются значащими.

В приближенном числе цифры называются значащими, если погрешность числа не превышает половины единицы разряда, в котором стоит эта цифра. В противном случае цифра является сомнительной. При правильной форме записи приближенное число должно содержать только значащие цифры. Например, правильная запись приближенного числа 285,30 должна означать, что оно определено в пределах от 285,295 до 285,305. Поскольку нули справа могут служить как для обозначения значащих цифр, так и для определения их разряда, желательно производить их запись в нормализованной форме в виде мантиссы, содержащей значащие цифры и умноженной на целую степень 10-ти. В нашем случае это будет 0,28530*10³ или 2,8530*10².

Многие числа нельзя представить точно ограниченным числом значащих цифр. Если в вычислениях используется число "π", то оно может быть представлено в виде 3,14 или 3,141593 или 3, 141592653589793, в зависимости от того, какая точность требуется в данных вычислениях. В любом случае, однако, невозможно представить "π" точно, так как оно является иррациональным числом.

При выполнении арифметических операций с приближенными числами (мы уже убедились, что точных чисел практически не существует) результат также является приближенным числом, то есть содержит погрешность (ошибку). Доказано, что при сложении и вычитании приближенных чисел абсолютная погрешность результата равна сумме абсолютных погрешностей участвующих в этих операциях чисел. При этом абсолютная погрешность результата не может быть меньше погрешности наименее точного из слагаемых. Например, сложение приближенных чисел 2,39 + 14,8304 = 17,2204 дает погрешность результата 0,005 + 0,00005 = 0,00505, которая указывает на то, что результат должен быть округлен и представлен в виде 1,722*10¹. Необходимости в учете двух последних цифр второго, более точного слагаемого не было. Еще пример, погрешность при вычитании приближенных чисел 32,459 – 19,2 = 13,259 составляет 0,0005 + 0,05 = 0,0505, следовательно, ответ должен содержать только три значащие цифры, остальные недостоверны 0,132*10².

В отличие от операции сложения, при вычитании двух близких по значению величин погрешность результата может приводить к потере точности. Например, вычислим разность двух чисел Х1 = 47,132 и Х2 = 47,111, каждое их которых имеет пять значащих цифр. Получим U = 47,132 – 47,111 = 0,021. Однако абсолютная погрешность е = 0,0005 + 0,0005 = 0,001, поэтому последняя значащая цифра 1 в величине U сомнительная и ее не следует учитывать U = 0,02. Рекомендуется по возможности избегать таких операций.

Погрешность функции y = f(x) зависит от погрешности аргумента и определяется по формуле

e_y = f '(x)*e_x ,

где e_x - погрешность величины аргумента х;

f '(x) – производная функции y (y ^' ).

Например, для функции y = 2*x² при х = 2,3 ± 0,05 производная y ' = 4*х = 4* 2,3 = 9,2 соответственно погрешность e_y = y ' * e_x = 9,2*0,05 = 0,46 и величина y = 10,58 ± 0,46 (величина 10,58 = 2*2,3 ²). Другой пример, для функции y= при х = 4 ± 0,5 производная y ' =0,5/=0,5=0,25, следовательно e_y = =0,25*0,5 = 0,125 и функция у = 2 ± 0,125.

При массовых вычислениях, когда не требуется точный учет погрешностей, округление результата производят по следующим правилам:

1. При сложении и вычитании приближенных чисел младший сохраненный разряд результата должен быть старшим среди последних десятичных разрядов исходных данных.

Пример 1: 3,45 + 4,9 + 7,341 = 15,691 оставляем 15,7.

47,18 – 5,987 = 41,193 оставляем 41,19.

2. При умножении и делении приближенных чисел в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет приближенное данное с наименьшим числом значащих цифр.

Пример 2: 46,37*2,6 = 120,562 оставляем 12*10¹.

46,5097/3,24 = 14,353 оставляем 1,44*10¹.

3. При возведении в квадрат или куб приближенного числа, а также при извлечении квадратного или кубического корня в результате нужно сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет подкоренное выражение или основание степени.

Пример 3: (3,2)³ = 32,768 оставляет 0,33*10².

= 6,371295 оставляем 6,37.

4. Во всех промежуточных результатах следует сохранять на одну цифру больше, чем рекомендуют предыдущие правила. В окончательном результате эта "запасная цифра" отбрасывается.

Следует помнить, что погрешности, которые содержаться в исходной информации, определяют точность результата вычислений независимо от того, как и каким методом эти вычисления производятся. Два других типа погрешностей определяются используемыми численными методами и конструктивными особенностями ЭВМ и могут корректироваться в процессе вычисления.