7. Построение доверительных интервалов

Генеральная совокупность случайных величин (аналитическая кривая распре­деления) характеризуется определенной математической зависимостью (плотность распределения вероятностей и функция распределения) и параметрами определяющими вид конкретной кривой распределения. Нормальный закон распределения определен двумя параметрами: среднее арифметическое значение, дисперсия. Расчетные параметры, полученные по результатам обработки выборочных рядов, являются смещен­ными из-за фиксированного количества значений. При увеличении количества значений выборки статистические расчетные значения изменяются, стремясь к аналитическим параметрам какого либо закона распределения. Диапазон возможного колебания параметра и характеризуют доверительные интервалы. С увеличением выборки натурных наблюдений доверительные интервалы уменьшаются.

Доверительные интервалы для математического ожидания:

значение t_{0,05; 19} определяем по табличным значениям t-распределе­ния Стьюдента (Приложение 4) , при этом получаем t_{0,05; 19} = 2,09.

Тогда доверительный интервал для среднего арифметиче­ского значения нормального закона распределения находится в промежутке:

.

Определим доверительный интервал для среднего квадра­тического отклонения нормального закона распределения:

,

где с₁ и с₂ определяются по табличным значениям кривой Пирсона (Приложение 3):

,

для приближенной оценки значения функции с₁ определяем с по­мощью линейной интерполяции узловых значений: с₁ = 8,825. Аналогично определяем значение функции с₂:

,

тогда генеральное среднее квадратическое отклонение находится в промежутке:

.

8. Определение объема выборки

Для определения необходимого объема выборки исходят из установленной точности определения расчетных параметров. Допустим, требуется определить оптимальное количество значений выборки при отклонении выборочного значения среднего арифметического от генерального среднего на 1. При этом имеем: доверительная ве­роятность равна 0,95, дисперсия 15,73. Табличные значения функ­ции Стьюдента определяются по пробной выборке (см. пример) с уровнем значимости 0,05. Исходя их формулы (20) получаем, что при выбранной точности определения среднего арифметического необходимо иметь объем выборки равный 69 значениям.

Проведенные расчеты позволяют определить основные расчетные параметры изучаемого загрязняющего вещества, подбор аналитической кривой распределения обуславливает закономер­ность появления случайных чисел, что определяет свойства изу­чаемого явления, например, если к эмпирическому подобран нор­мальный закон распределения, то, зная среднее арифметическое значение и среднее квадратическое отклонение выборки, на осно­вании свойства кривой (правило 3б) можно определить границы распространения случайных величин.

Результаты расчетов могут быть использованы в дальней­ших исследованиях, в частности, для математического моделиро­вания трансформации загрязняющего вещества в водной или воз­душной среде методом Монте-Карло.

Контрольные вопросы:

1.Мониторинг окружающей среды. Цели и задачи.

2. Какое вещество называется загрязняющим?

3. Предельно допустимая концентрация, характеристика ?

4.Концентрация загрязнения. Единицы измерения, физическое представление.

5. Случайные величины, их характеристика.

6. Построение вариационного ряда.

7. От чего зависит количество классов?

8. Длина интервала. Как определяется? В чем измеряется?

9. Определение границ интервалов.

10. Эмпирическая частота, единицы измерения.

11. Перечислить расчетные статистические характеристики.

12.Меры положения, краткая характеристика, ед.измерений.

13. Дисперсия и ср. кв. отклонение, единицы измерения, определение.

14. Сущность асимметрии, ед. измерения.

15. Сущность эксцесса, ед. измерения.

16. Оценка существенности асимметрии, преследуемые цели.

17. Оценка существенности эксцесса, преследуемые цели.

18. Расположение мер положения в зависимости от знака асимметрии.

19. Графическое изображение вариационных рядов.

20. Определение относительной частоты.

21. Определение приведенной частоты.

22. Проверка статистических гипотез. Методика расчета.

23. Критерии однородности, цель использования.

24. Критерии согласия, цель использования.

25. Определение доверительных интервалов.

26. Практическое применение полученных результатов статистической обработки экспериментальных данных.