6. Проверка статистических гипотез

Статистические критерии можно разделить на следующие группы: критерии однородности и критерии согласия. С помощью критериев однородности исследователь пытается на основе отры­вочных данных удлинить ряд данных натурных наблюдений. Экс­периментатор проверяет на однородность несколько рядов натур­ных наблюдений с целью объединения их в один. Необходимость использования критериев однородности обусловлена: стремлением получить более совершенные расчетные параметры кривых рас­пределения (с увеличением объема выборки расчетные статистические величины приобретают количественную стабильность, увеличивается суще­ственность каждой характеристики, проявляются закономерности распределения случайных величин). Критериев однородности дос­таточно много. Наиболее распространенными в практических рас­четах являются критерии Фишера и Стьюдента (параметрические критерии, в основе которых лежит предположение о принадлеж­ности случайных величин к нормальному закону распределения), из непараметрических можно выделить критерий Вилкоксона (нет предположений о законах распределения сравниваемых выборок).

Критерии согласия позволяют подобрать к эмпирическому распределению конкретное теоретическое. Наиболее распростра­ненным в практических расчетах является критерий Пирсона или ².

Цель использования критериев заключается в определе­нии закономерностей возникновения случайных величин, их свойств, которые определяют сущность прогнозов и играют важную роль в управлении природными явлениями.

Использование статистических критериев осуществляется следующим образом:

а) выдвигается нулевая гипотеза (Н₀): при использовании критериев, например, однородности — исследуемые ряды одно­родны. Далее на основании выбранного критерия, пытаемся дока­зать или опровергнуть выдвинутое предположение (Н₀).

б) используя зависимости статистического критерия, по­лучаем расчетное значение критерия.

в) определение области допустимых значений, т.е. тот промежуток на числовой прямой, на котором подтверждается ну­левая гипотеза. Область допустимых значений определяется сле­дующим образом:

• определяют уровень значимости , характеризующий вероятность ошибочного решения, в практических расчетах его принимают равным 0,05. При выбранном уровне значимости дове­рительная вероятность составляет 95%, что удовлетворяет требо­ваниям практических расчетов;

• число степеней свободы (данная величина различна в зависимости от используемого критерия, но в большинстве случаев зависит от объема выборки).

С помощью таблиц или расчетных формул при выбранном уровне значимости и числе степеней свободы рассчитывается кри­тическое значение статистического критерия. Критическое значе­ние характеризует границу между областью допустимых значений и критической областью. Попадание расчетного значения в область допустимых значений подтверждает нулевую гипотезу, исследуе­мые ряды объединяем в один ряд и проводим статистическую об­работку (определяем расчетные параметры). При использовании критериев согласия, если расчетное значение статистического кри­терия попадает в область допустимых значений, утверждаем, что эмпирическое распределение согласуется с конкретным аналитиче­ским законом распределения, и свойства данного закона распреде­ления можно использовать при анализе данных натурных наблю­дений.

7. Построение доверительных интервалов

Расчетные параметры статистических характеристик, оп­ределенные по выборке, являются смещенными и показывают лишь оценку параметров генеральной совокупности (их иначе называют выбороч­ными параметрами). Из-за случайности выборок оценки парамет­ров являются смещенными, отличающимися от параметров гене­ральной совокупности. Обозначим точность оценки через . Чем меньше значение точности оценки, тем ближе выборочный расчет­ный параметр приближается к своему генеральному значению. Нормальный закон распределения характеризуется двумя парамет­рами: М — математическое ожидание и  — среднее квадратическое отклонение; тогда, говоря о точности определения расчетных ха­рактеристик, должно выполнятся условие: (М - Х_ср) < ₁ и ( - ) < ₂. Точность оценки фактически определяет длину доверительного интервала (отклонение от полученного выборочного значения в обе стороны на ). Необходимую точность можно получить с оп­ределенной вероятностью (надежностью), иначе доверительной ве­роятностью. Доверительная вероятность , точность оценки  и объем выборки N связаны между собой. На этой связи строится определение оптимального объема выборки с заданной точностью оценки параметра.

Доверительный интервал для математического ожидания М нормального закона распределения определяется ис­ходя из того, что случайная величина

((М - Х_ср)/)N

имеет рас­пределение Стьюдента (t-распределение) с числом степеней сво­боды m = N - 1. Следовательно, на основании табличных значений Приложения 4 по заданному уровню значимости  можно опреде­лить величину t_{; N - 1}. Длина доверительного интервала определя­ется по следующей зависимости:

,

(16)

отсюда

.

(17)

Далее определим доверительный интервал для среднего квадратического отклонения . Отправной точкой является тот факт, что случайная величина имеющая нормальный закон распре­деления, при ((N - 1)²)/² имеет распределение Пирсона (²-рас­пределение) с числом степеней свободы m = N - 1. По таблицам распределения Пирсона (приложение 3) определяем по выбран­ному уровню значимости  (или доверительной вероятности ,  = 1 - ) и числу степеней свободы два числа с₁ и с₂:

; .

Запишем доверительный интервал для дисперсии:

.

(18)

Данное неравенство можно переписать в следующем виде:

.

(19)