1.2 Определители матриц

1.2.1 Определение. Определителем второго порядка называется число, обозначаемое или или , вычисляемое по формуле

. (4)

1.2.2 Определение. Определителем третьего порядка называется число, вычисляемое по формуле

. (5)

Вычисление определителей второго порядка производится по формуле (4) и не требует специальных приёмов. Сложнее ситуация с определителями третьего порядка. Для упрощения вычисления определителя третьего порядка рекомендуется следующая схема записи формулы (5) (правило треугольников):

. (6)

Вычисление определителей третьего порядка можно вести с помощью определителей второго порядка. Для того чтобы записать соответствующую формулу, введём ещё одно понятие.

1.2.3 Определение. Алгебраическим дополнением элемента определителя (5) называется число , где – определитель второго порядка, полученный из определителя (5) вычёркиванием -й строки и -го столбца.

Например:

, .

Справедлива формула

, . (7)

Формула (7) называется разложением определителя (5) по элементам -й строки. Аналогичное разложение имеет место для любого столбца определителя (5).

1.2.4 Определение. Определителем порядка квадратной матрицы порядка называется число, вычисляемое по формуле

, (8)

где – фиксировано (), – алгебраическое дополнение элемента , имеющее вид:

. (9)

В правой части формулы (9) находится определитель порядка с коэффициентом .Он получается из определителя вычёркиванием строки и -го столбца. Таким образом, формула (8) показывает, что определитель порядка вычисляется с помощью определителей порядка . Формулу (8) называют разложением определителя по элементам -й строки, причём строку можно выбрать любую. Аналогичное разложение определителя имеет место для произвольного столбца.

Перечислим некоторые из свойств определителей, позволяющие упростить их вычисление:

;

.

При перестановке любых двух строк (столбцов) определителя он изменяет знак на противоположный.

Общий множитель строки (столбца) можно выносить за знак определителя.

Если все элементы одной из строк (одного из столбцов) определителя равны нулю, то определитель равен нулю.

Если соответствующие элементы двух строк (столбцов) определителя пропорциональны, то он равен нулю.

Если каждый элемент -й строки (-го столбца) определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то данный определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, один из которых в -й строке (-м столбце) содержит первые из упомянутых слагаемых, а другой − вторые; остальные элементы одинаковы.

Если к одной строке (столбцу) определителя добавить другую его строку (столбец), умноженную на произвольное число, то определитель не изменит своего значения.

1.2.5 Пример. Вычислить определитель .

Решение.

1 Пользуясь правилом треугольников (6), вычисляем входящие в формулу (5) произведения: , , , , , .

Теперь по схеме (6) получаем

.

2 Вычислим данный определитель по формуле (7), разлагая его по элементам первой строки. Имеем: , , . Их алгебраические дополнения равны:

; ; .

Тогда .

3 Пользуясь свойствами определителей, преобразуем данный опре­делитель так, чтобы в некоторой строке (столбце) содержалось как можно больше нулей, а затем воспользуемся разложением определителя по элементам данной строки (столбца). В нашем определителе первый столбец имеет общий множитель 2. Вынесем его за знак определителя, а затем из первой строки вынесем общий множитель 3:

.

В первой строке один из элементов равен 0. Сделаем в ней ещё один ноль. Умножим элементы первого столбца на (–1) и прибавим его к соответствующим элементам второго столбца. Затем разложим полученный определитель по элементам первой строки в соответствии с формулой (7) при . В результате получим

.

1.2.6 Пример. Вычислить определитель .

Решение.

Сначала воспользуемся свойствами определителей и преобразуем наш определитель, не изменяя его, а затем воспользуемся формулой (8). Преобразование будем проводить с помощью третьей строки определителя. Вначале прибавим к первой строке определителя третью, умноженную на , а затем ко второй строке − третью, умноженную уже на . Имеем: