- •212005, Г. Могилёв, пр. Мира, 43
- •Содержание
- •1 Операции над матрицами. Определители матриц
- •1.1 Операции над матрицами
- •1.2 Определители матриц
- •1.3 Упражнения
- •1.4 Контрольные задания
- •2 Обратная матрица. Ранг матрицы
- •2.1 Обратная матрица
- •2.2 Ранг матрицы
- •2.3 Упражнения
- •2.4 Контрольные задания
- •3 Невырожденные системы линейных уравнений
- •3.1 Матричный метод решения систем, формулы Крамера
- •3.2 Упражнения
- •3.3 Контрольные задания
- •4 Решение произвольных систем
- •4.1 Основные понятия. Теорема Кронекера-Капелли
- •4.2 Метод Гаусса решения систем линейных уравнений
- •4.3 Упражнения
- •4.4 Контрольные задания
- •5 Однородные и неоднородные системы линейных уравнений
- •5.1 Структура общего решения однородных и неоднородных систем
- •5.2 Упражнения
- •5.3 Контрольные задания
- •Список литературы
ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Кафедра «Высшая математика»
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Методические указания к практическим занятиям для студентов дневной и заочной форм обучения всех специальностей, обучающихся по белорусским и российским образовательным стандартам
Матрицы. Системы линейных алгебраических уравнений
Могилёв 2007
УДК 514.742: 514.12
ББК 22.151.5: 22.151.0
B 26
Рекомендовано к опубликованию
учебно-методическим управлением
ГУ ВПО «Белорусско-Российский университет»
Одобрено кафедрой «Высшая математика» «27» декабря 2006 г., протокол № 4
Составители : В. А. Карпенко ; И. У. Примак ;
А. Г. Козлов ; Д. В. Роголев ;
Э. М. Пальчик ; В. Л. Штукарь ;
Н. М. Карпович
Рецензент канд. техн. наук, доц. В. А. Широченко
Выполнены методические разработки практических занятий по теме «Матрицы. Системы линейных алгебраических уравнений» дисциплины «Высшая математика». Методические указания предназначены для студентов дневной и заочной форм обучения всех специальностей, обучающихся по белорусским и российским образовательным стандартам.
Учебное издание
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Ответственный за выпуск Л. В. Плетнёв
Технический редактор А. А. Подошевко
Компьютерная вёрстка В. Э. Ковалевский
Подписано в печать . Формат 60х84/16. Бумага офсетная. Гарнитура Таймс.
Печать трафаретная. Усл. печ. л. . Уч.- изд. л. .Тираж 516 экз. Заказ №
Издатель и полиграфическое исполнение
Государственное учреждение высшего профессионального образования
«Белорусско-Российский университет»
ЛИ №02330/375 от 29.06.2004 г.
212005, Г. Могилёв, пр. Мира, 43
© ГУ ВПО «Белорусско-Российский
университет», 2007
Содержание
1 Операции над матрицами. Определители матриц 4
1.1 Операции над матрицами 4
1.2 Определители матриц 8
1.3 Упражнения 11
1.4 Контрольные задания 12
2 Обратная матрица. Ранг матрицы 13
2.1 Обратная матрица 13
2.2 Ранг матрицы 15
2.3 Упражнения 18
2.4 Контрольные задания 19
3 Невырожденные системы линейных уравнений 20
3.1 Матричный метод решения систем, формулы Крамера 20
3.2 Упражнения 22
3.3 Контрольные задания 23
4 Решение произвольных систем 23
4.1 Основные понятия. Теорема Кронекера-Капелли 23
4.2 Метод Гаусса решения систем линейных уравнений 26
4.3 Упражнения 29
4.4 Контрольные задания 29
5 Однородные и неоднородные системы линейных уравнений 30
5.1 Структура общего решения однородных и неоднородных систем 30
5.2 Упражнения 33
5.3 Контрольные задания 34
Список литературы 34
1 Операции над матрицами. Определители матриц
Цель занятия: усвоение понятий суммы матриц, произведения матрицы на число и произведения матриц, выработка навыков вычисления определителей.
1.1 Операции над матрицами
1.1.1 Определение. Матрицей размера (типа) называется таблица вида
, (1)
состоящая из m строк и n столбцов чисел , , . Числа называются элементами матрицы . Для каждого элемента числа i и j означают номера строки и столбца соответственно, на пересечении которых располагается данный элемент . Кратко пишут: , , . Матрицы и равны, если они имеют одинаковые размеры и для , .
1.1.2 Определение. Матрица , полученная из данной матрицы заменой каждой её строки столбцом с тем же номером, называется транспонированной относительно .
1.1.3 Определение. Суммой матриц и одного и того же размера называется матрица того же размера , элементы которой являются суммами соответствующих элементов и . Краткая запись: .
1.1.4 Определение. Произведением матрицы типа на произвольное число называется матрица типа , элементами которой служат числа , , . Итак, .
Пусть – матрица типа , – матрица типа . Произведением матриц и (в указанном порядке) называется матрица типа , для которой
, , . (2)
Рекомендуем обратить внимание на следующие важные моменты. Суммировать можно только матрицы одного и того же размера. Умножить матрицы и в указанном порядке можно только тогда, когда число столбцов матрицы совпадает с числом строк матрицы . Разность матриц и одного и того же размера естественно определяется так: .
Справедливы следующие свойства операций сложения и умножения матриц (при условии, что они имеют смысл):
, ,
, ,
, ,
, , , (3)
где – единичная матрица типа .
Матрица типа называется квадратной, если , т. е. число строк и столбцов этой матрицы одинаково. Часто говорят, что квадратная матрица имеет порядок .
1.1.5 Определение. Целой положительной степенью квадратной матрицы называется произведение матриц, каждая из которых равна . Нулевой степенью квадратной матрицы называется единичная матрица того же порядка, что и , т.е. .
1.1.6 Определение. Выражение называется многочленом от матрицы .
1.1.7 Пример. Найти матрицу , если
, .
Решение.
Имеем:
.
1.1.8 Пример. Вычислить произведение матриц:
, .
Решение.
Матрица имеет размеры , матрица – , поэтому произведение существует и имеет размеры . Вычисляем элементы матрицы по формуле (2):
; ;
; ;
.
1.1.9 Пример. Даны матрицы , , и число . Найти .
Решение.
; ;
; .
1.1.10 Пример. Найти , если , .
Решение.
Матрица .