Вариационные принципы. Процесс Ритца.

Попытаемся проследить развитие проекционного подхода с иных позиций. Рассмотрим вновь ту же задачу:

(41)

Одновременно введем в рассмотрение так называемую сопряженную ей задачу

(42)

– сопряженный оператор такой, что для всех рассматриваемых функций, например w и v

Правая часть g не имеет связи с f.

Построим следующего вида функционал:

.

(Функционал – математический объект, который ставит в соответствие функциям числа).

Возьмем его вариацию , которая определяется аналогично дифференциалу функции нескольких переменных. Но вместо изменения независимых переменных, происходит «изменение функций» w и v на некотором множестве. Таким множеством допустимых функций может быть, в частности, множество всех достаточно гладких функций, удовлетворяющих всем требуемым краевым условиям . Формально вводим приращение функций , а с функционалом поступают (внешне) согласно обычным правилам дифференциального исчисления

.

Стационарным значением функционала называют такое, для которого . В частности стационарное значение может быть максимальным или минимальным значением. Выясним, какие w и v доставляют функционалу стационарное значение. Приравняв и учитывая

Получаем

.

И поскольку вариации и независимы, видим, что наш функционал стационарен на решении задач (41) и (42)

.

Таким образом для решение задачи (41) необходимо отыскать минимум функционала Ф.

Для отыскания минимума функционала Ф применяется приближенный метод Ритца. Метод состоит в следующем. Пусть в области V построена полная система функций (скалярная или векторная), удовлетворяющая граничным условиям. Функции эти не являются собственными функциями оператора А (иначе задача решается аналитически до конца и в применении метода Ритца нет необходимости). Указанная система образует базис, на который можно разложить искомое решение. Поэтому функции часто называют координатными.

Ограничиваясь конечным числом функций, ищем приближенное решение в виде:



. ( 43 )

Вводя эти разложения в функционал Ф, получим следующую функцию переменных

.

Теперь вместо вариации функционала нужно взять дифференциал функции , который следует обратить в нуль. Для этого нужно потребовать обращения в нуль всех частных производных . Если ограничиться половиной этих условий, а именно потребовать лишь

.

Т.е.

Отсюда получаем систему линейных алгебраических уравнений

, (44)

которая, как видим, полностью совпадает с (38).

Использование условий

привело бы к аналогичной системе уравнений для сопряженной задачи (42).

Как видим, при весьма отличных исходных положениях процессов Бубнова – Галеркина и Ритца следует считать их эквивалентными т.к. они приводят (при прочих равных условиях) к одной и той же проекционной системе алгебраических уравнений (38) и (44). При этом схема действий в случае вариационного подхода сложнее.

Необходимо подчеркнуть то, что (44) дает формальное решение задачи (41). Вопросы разрешимости системы алгебраических уравнений, сходимость разложений типа (43) к точному требует доказательства. Далеко не всегда доказательства удается провести. Тогда проводят повторные вычисления с разным числом функций в (43). Устойчивость значений коэффициентов , полученных при разных , принимается как критерий правильности полученных решений.