Мчо с учётом особенности на ребре.

Плохую сходимость МЧО и наличие явления "относительной сходимости" можно физически объяснить тем, что поля, имеющие на границе сливания особенность вблизи ребра, апроксимируются функциями, не учитывающими этой особенности.

В общем случае если на концах интервала поле имеет особенности вида:

при ;

при .

То решение следует искать в виде ряда по системе ортогональных полиномов

где – полиномы Якоби.

В частном случае , полиномы Якоби превращаются в полиномы Гегенбауэра , при , в полиномы Чебышева 1-го рода , при , в полиномы Чебышева 2-го второго рода .

Для нашей задачи представим функцию см. ( 56 )

,

где

.

Вблизи острого металлического ребра – составляющая поля ведёт себя как

; k = 1, 2.

Где , если ребро полуплоскость и , если ребро прямой угол.

В случае нашей задачи необходимо потребовать, чтобы удовлетворяли граничному условию , при y = 0, тогда

;

,

где – полиномы Гегенбауэра, при (диафрагма), они переходят в полиномы Чебышева 1-го рода .

Граничное условие при у = 0 выполняется в силу чётности полиномов Гегенбауэра. Тогда подставим это в ( 55 ) и получаем СЛАУ. При этом выражение для матричных коэффициентов получаются более сложные, так как содержат функции Бесселя.

Приведем таблицу сходимости к точному результату В = 1,593146. N – число алгебраических уравнений в СЛАУ Р – число членов в рядах для матричных элементов.

Таблица сходимости мнимой части шунтирующей проводимости

N
	10	20	50	100
1	1,612246	1,612298	1,612305	1,612306
2	1,593089	1,593156	1,593165	1,593166
3	1,593069	1,593135	1,593145	1,593146

Из таблицы видим, что практически точное значение получается при , . Точность порядка одного процента получается при , .

Метод Моментов

Ищем решение задачи

.

Приближенное решение задачи запишем в виде

где – базисные функции

Подставив, получим:

В силу линейности оператора

.

Второй этап решения состоит из введения весовых функций принадлежащих области определения оператора и образования скалярного произведения

(59)

В случае, когда весовые функции совпадают с базисными , метод моментов называют методом Бубнова-Галеркина, уравнение (59) в этом случае имеет вид

.

Итерационные методы

Пусть имеется система алгебраических уравнений (в матричном виде)

Пусть матрица обратная матрице . Тогда решение этого уравнения имеет вид

Метод обращения матрицы является наиболее распространенным. Это прямой и простой метод. Однако процесс обращения может оказаться слишком дорогим и продолжительным, особенно при обращении очень больших матриц, или при необходимости рассмотрения значительного числа вариантов, возникающих, например, при исследовании зависимости решения задачи от большого числа параметров. Кроме того, большое значение имеет степень обусловленности матрицы. Обращение плохо обусловленной матрицы (т.е. матрицы, детерминант которой близок к нулю), достигается, как правило, с трудом и легко может привести большим ошибкам округления.

Иной подход к решению матричного уравнения состоит в использовании итерационной процедуры. Матрицу представим в виде разности двух матриц

,

тогда подставив

,

получим

.

и если существует обратная матрица , то

подставляя в правую часть начальное приближенное значение , найденное любым способом, можно получить более точное значение . Продолжая этот процесс можно получить решение в виде ряда. Процесс будет сходиться, если наибольшее собственное значение матрицы . Однако найти трудно, так что получить оценку сходимости заранее не удается.