Глава 10

ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА

§ 1. Третий закон Ньютона

§ 2. Закон сохранения импульса

§3. Импульс все-таки сохраняется

§ 4. Импульс и энергия

§ 5. Реляти­вистский импульс

§ 1. Третий закон Ньютона

Второй закон Ньютона, который связывает ускорение любого тела с действующей на него силой, позволяет хотя бы в принципе решить любую механическую задачу. Можно, напри­мер, с помощью числового метода, знакомого вам уже по предыдущей главе, определить движение нескольких частиц. Однако имеется еще достаточно причин, чтобы продолжить изучение законов Ньютона. Во-первых, су­ществуют такие сравнительно простые случаи движения, которые можно изучать не только числовым путем, но и с помощью прямых мате­матических методов. Вы знаете, например, что ускорение свободно падающего тела постоянно и равно 9,8 м/сек². Исходя из этого, можно бы­ло бы численно восстановить всю картину дви­жения, однако гораздо проще и удобнее с по­мощью математического анализа найти общее решение: s=s₀+v₀t+4,9t². To же самое относится и к гармоническому осциллятору, расчету которого была посвящена часть пре­дыдущей главы. Можно было бы просто ана­литически доказать, что функция cost является точным решением этой задачи, поэтому нет необходимости в арифметических упражнениях, если ответ можно получить более простым и строгим методом.

Одна из таких задач — движение планеты вокруг Солнца. Можно, конечно, так же, как мы это делали в гл. 9, постепенно найти общую форму орбиты, однако и эта задача решается точно, причем в результате получается строго эллиптическая орбита.

Но, к сожалению, таких задач, которые могут быть точно решены с помощью анализа, очень мало. В том же гармониче­ском осцилляторе, например, если сила пружины не будет пропорциональна отклонению от положения равновесия, а окажется несколько сложнее, мы уже не сможем ничего поде­лать и вынуждены обращаться к численному расчету. Или, на­пример, если вокруг Солнца вращается не одна планета, а две (т. е. имеются всего три тела, взаимодействующих друг с дру­гом), то нам не удастся найти аналитическую форму такого движения и на деле задача тоже решается численно. Это зна­менитая проблема трех тел, над которой в течение долгого времени бились лучшие умы человечества. Интересно, что, пока люди поняли ограниченные возможности математического анализа и необходимость использования числовых методов, потребовалось немало времени. Сейчас с помощью этих методов решается огромное количество задач, которые не могли быть решены аналитически. Та же знаменитая проблема трех тел, решение которой, как полагали, очень сложно, в числовом ме­тоде выглядит самой заурядной задачкой и решается способом, описанным в предыдущей главе, т. е. с помощью большого числа арифметических действий. Однако имеются ситуации, когда оба метода оказываются бессильны: простые задачи решаются аналитически, а задачи посложнее — числовым ариф­метическим методом, но очень сложные задачи невозможно решить ни так, ни этак. Возьмите, например, сложную задачу столкновения двух автомобилей или даже движение молекул газа. В кубическом миллиметре газа содержится бесчисленное количество частиц, и было бы безумием пытаться решать задачу со столькими переменными (около 10¹⁷, т. е. сто миллионов миллиардов!). Столь же сложна задача о движении звезд в шаровом скоплении, где вместо двух или трех планет, движу­щихся вокруг Солнца, собрано громадное количество звезд. Эти проблемы нельзя решить прямыми методами, и нужно изыскать какие-то другие пути.

При таком положении, когда детальное рассмотрение не­возможно, полезно знать некоторые общие свойства, т. е. об­щие теоремы или принципы, которые являются следствием законов Ньютона. Один из таких принципов — это закон сохра­нения энергии, который мы обсуждали в гл. 4. Вторым прин­ципом является закон сохранения импульса, которому посвя­щена настоящая глава. Другая причина необходимости даль­нейшего изучения механики — это существование некоторых общих свойств движения, которые повторяются при различ­ных обстоятельствах; так что полезно изучить это свойство на каком-то одном частном случае. Мы, например, будем изучать столкновения; различные виды столкновений имеют много общего. Или возьмем течение жидкости, неважно какой; законы течения разных жидкостей имеют много общего. Еще один пример, который мы будем изучать, это колебания, или осцил­ляции, в частности свойства механических волн: звука, коле­бания стержней и т. д.

Когда мы обсуждали законы Ньютона, то уже говорили о том, что они являются своего рода программой, которая призы­вает нас обратить особое внимание на силы. Но о самих силах Ньютон сказал только две вещи. Он полностью сформулировал закон для сил тяготения, но почти ничего не знал о более сложных силах, например о силах между атомами. Однако он открыл одно правило, одно общее свойство всех сил, которое составляет Третий закон. Таким образом, все, что Ньютон знал о природе сил,— это закон тяготения и общий принцип, кото­рый гласит:

Сила действия равна силе противодействия.

Означает это примерно следующее. Пусть имеются два ма­леньких тела, скажем две частицы, и пусть первая из них толка­ет вторую с некоторой силой. Тогда в соответствии с Третьим за­коном Ньютона вторая частица будет толкать первую с той же силой, но в противоположную сторону. Более того, эти силы бу­дут действовать вдоль одной и той же линии. Эта гипотеза, или, если хотите, закон, предложенный Ньютоном, выполняется с большой точностью, хотя, впрочем, он не абсолютно точен (с нарушениями его мы познакомимся позднее). Сейчас, однако, мы будем считать его совершенно точным. Разумеется, если есть еще третья частица, которая расположена не на той же линии, что две первые, то закон вовсе не означает, что сила, действующая на первую частицу, равна полной силе, дей­ствующей на вторую. Ведь эта третья частица может толкать две первые, в результате чего полная сила, действующая на первую частицу, будет направлена по-другому и, вообще го­воря, не будет ни равна, ни противоположна силе, действующей на вторую частицу. Однако полная сила, действующая на каж­дую из частиц, может быть разложена на две составляющие, которые представляют собой силы, действующие между каждой парой частиц. Эти компоненты силы для каждой пары частиц должны быть равны по величине и противоположны по направ­лению.