Основные уравнения

Основными уравнениями электродинамики является уравнение Максвелла:

(1)

Здесь и — векторы напряжённости электрического и магнитного полей ( и );

и — векторы электрической и магнитной индукции (, или Тл);

и — векторы объёмной плотности электрического и магнитного токов ( и);

, — объёмные плотности электрических и магнитных зарядов (, );

Вектор плотности электрического тока состоит из двух слагаемых

— плотность тока проводимости имеет электромагнитное происхождение и зависит от напряжённости электрического поля .

— плотность стороннего тока — определяется силами неэлектромагнитного происхождения (элементы, генераторы и т.д.)

Для упрощения решения многих прикладных задач вводят магнитные заряды и токи, хотя по современным воззрениям магнитных зарядов, а, следовательно, и магнитных токов не существует. Плотность магнитного тока определяется только сторонними силами.

При решении конкретных задач под сторонними токами понимают, как правило, токи, возбуждаемые полями, не учитываемыми в искомом электромагнитном поле, например, токи в проволочных антеннах () или токи в щелевых антеннах ().

Комплексные амплитуды.

В радиофизике и радиотехнике большую роль играют монохроматические поля, т.е. когда можно считать, что поля содержат t только во множителе

;

здесь — циклическая (круговая) частота колебаний — одинакова для всех компонент поля и во всех точках пространства, фаза различна для различных компонент и зависит от пространственных координат. Для таких колебаний можно исключить t из уравнений, введя вместо полей их комплексные амплитуды. Для этого зависимость от времени задаётся множителем , а все уравнения формируются для комплексных амплитуд. После нахождения комплексной амплитуды поле может быть получено по формуле (для примера для )

Уравнения Максвелла в этом случае записываются в виде:

(2)

Здесь точки над векторами означают, что берётся комплексная амплитуда соответствующего вектора.

Уравнения связи

Величины, входящие в уравнения Максвелла, связаны друг с другом следующим образом

Эта связь определяется свойствами среды и носит название уравнений связи или материальных уравнений. Эта связь может быть как локальной и мгновенной, так нелокальной и не мгновенной.

Локальная и мгновенная связь.

В этом случае векторы и в данной точке в данный момент времени зависят от величины и направления вектора в этой точке и в тот же момент времени (также для и ). Как правило, эти зависимости линейные. Только в ферромагнитных материалах, сегнетоэлектриках и особенно в плазме нелинейность становится заметной в сравнительно малых полях.

В изотропных средах векторы ,, а также и в каждой точке параллельны друг другу и связь записывается в наиболее простом виде

(3)

здесь и — абсолютная диэлектрическая (магнитная) проницаемость среды (, );

— проводимость среды ().

В анизотропной среде параллельности между указанными векторами нет и линейная связь записывается в более общей форме, каждая составляющая, например, вектора зависит линейно от всех составляющих вектора

( цифры 1,2,3 соответствуют координатам x,y,z)

(4)

(5)

В анизотропной среде информация о свойствах последней несёт не одно скалярное число , а, вообще говоря, девять величин . Эти девять величин образуют тензор второго ранга. Магнитная проницаемость также может быть тензором (например, в подмагниченном феррите).

Если , и или составляющая соответствующих тензоров не зависят от координат, то среду называют однородной, в противном случае неоднородной.

При не локальной и не мгновенной связи между векторами поля или, как говорят, при наличии пространственной и временной дисперсии материальные уравнения представляются в интегральной форме, так как и в данной точке и в данный момент времени зависят от во всех точках пространства и во все предыдущие моменты времени, то же самое относится к зависимости от .

, (6)

где – ядро преобразования, оно определяется свойствами среды. Теперь и зависят не только от свойств и характера среды, но также от геометрических параметров тела и вида процессов в предыдущие моменты времени. К счастью, окрестность заметного влияния очень мала. Поэтому все внутренние точки тела находятся в одинаковых условиях и, обычно, геометрические параметры тела не оказывают заметного влияния, за исключением случаев очень резкого изменения поля в пространстве.

В большом круге задач электродинамики удаётся ограничиться в материальных уравнениях только временной дисперсией. Если в такой среде рассматривать монохроматическое поле, то материальные уравнения записываются в форме (3) и (4), но с комплексными параметрами , и . В монохроматических полях особенно при наличии временной дисперсии вводится комплексная диэлектрическая проницаемость

.

Для этого запишем первое уравнение Максвелла в виде:

и подставим в него ток проводимости в виде

.

Тогда система уравнений Максвелла примет вид:

(7)