4) Méthode graphique

• En expriment y en fonction de x dans les deux équations, on obtient un nouveau système qui a les mêmes solutions que le système de départ.

• On représente graphiquement les deux droites en marquant deux points pour chacune.

• Le couple de coordonnées du point d’intersection des deux droites est la solution du système.

Par exemple:

Résoudre graphiquement le système

y

• En exprimant y en fonction de x dans les deux équations, on obtient le système

x

• Dans le plan muni d’un repère, les couples solutions de la première équation sont représentés par la droite (d) d’équation

• Les couples solutions de la deuxième équation sont représentés par la droite () d’équation

• Le point M est à la fois sur les deux droites, donc ses coordonnées (9 ; 2) vérifient à la fois les deux équations. Le couple (9 ; 2) est solution du système.

Remarques

• Cette solution n’est qu’approchée. Par le calcul, on trouve le couple solution exact.

• Les droites sont sécantes. Il n’y a donc pas d’autres solutions.

• Les droites sont parallèles. Ce système n’a pas de solution.

• Les droites sont confondues. Ce système a une infinité de solutions.

5) Méthode de combinaison

Pour résoudre par combinaison un système de deux équations à deux inconnues,

• on choisit l’inconnue que l’on va « faire disparaître » ;

• on multiplie chaque membre par un nombre de façon qu’en ajoutant les équations obtenues l’inconnue choisie « disparaisse » ;

• on résout l’équation à une inconnue obtenue ;

• on achève la résolution du système.

Par exemple: Résoudre par combinaison le système

• On choisit l’inconnue que l’on souhaite « faire disparaître » : ici l’inconnue x par example.

• On multiplie chaque membre de la première équation par le nombre 3, puis on multiplie chaque membre la deuxième équation par le nombre – 4. On obtient :

• On ajoute membre à membre la première équation et la deuxième équation. On obtient une équation dont la seul inconnue est y.

• On remplace y par dans la première équation (ou dans la deuxième ) pour obtenir la valeur de x.

Le couple est la seule solution du système.

Remarque

• On repère les coefficients d’une des deux inconnues, puis on détermine un de leurs multiples communs non nuls.

• Dans les deux méthodes (substitution et combinaison ), le principe est d’éliminer une des deux inconnues pour se ramener à résoudre des équations à une seule inconnue.

6) Méthode de substitution

Pour résoudre par substitution un système de deux équations à deux inconnues x et y,

• on commence par choisir l’inconnue (x ou y) que l’on va exprimer en fonction de l’autre, et l’équation que l’on va utiliser pour faire cela ;

• on se ramène alors à une équation à une seule inconnue, que l’on résout ;

• on achève la résolution du système.

Par exemple:

Résoudre par substitution le système

• On exprime une inconnue en fonction de l’autre :

• On remplace alors x par 2 – 3y dans la deuxième équation:

• O n obtient ainsi une équation à une seule inconnue, y. On résout cette équation :

• On remplace y par dans la première équation. On trouve ainsi la valeur de x:

Le couple est la seule solution du système.

Remarque

La méthode de substitution est recommandée lorsque le coefficient d’une des inconnues est 1 ou – 1 car on peut facilement exprimer x en fonction de y ( ou y en fonction de x ) dans une des équations et reporter le résultat dans l’autre.