4.5. Другие виды степенных средних. Средняя хронологическая

Средняя геометрическая величина используется при расчете средних показателей динамики. Средняя геометрическая применяется в форме простой средней (для несгруппированных данных) и взве­шенной средней (для сгруппированных данных).

Средняя геометрическая простая (4.5):

где n— число значений признака;

П — знак произведения.

Средняя геометрическая взвешенная (4.6):

Средняя квадратическая величина используется при расчете

показателей вариации. Применяется в форме простой и взвешенной.

Средняя квадратическая простая (4.7):

Средняя квадратическая взвешенная (4.8):

Средняя кубическая величина используется при расчете показателей асимметрии и эксцесса. Применяется в форме простой взвешенной.

Средняя кубическая простая (4.9):

Средняя кубическая взвешенная (4.10) :

Средняя хронологическая величина используется для расчета среднего уровня ряда динамики (4.11):

4.6. Структурные средние

Помимо рассмотренных выше средних величин в статистике используются структурные средние, к которым относятся мода и ме­диана.

Модой (Мо) называется значение изучаемого признака (вари­ант), которое чаще всего встречается в совокупности. В дискретном ряду мода определяется достаточно просто — по максимальному пока­зателю частоты. В интервальном вариационном ряду мода приблизительно соответствует центру модального интервала, т. е. интервала, имеющего большую частоту (частость). Конкретное значение моды рассчитывается по формуле (4.12):

где нижняя граница модального интервала;

ширина модального интервала;

частота, соответствующая модальному интервалу;

частота интервала, предшествующего модальному;

частота интервала, следующего за модальным.

Медианой (Ме) называется значение признака, расположенное в середине ранжированного ряда. Под ранжированным понимают ряд, упорядоченный в порядке возрастания или убывания значений признака. Медиана делит ранжированный ряд на две части, одна из которых имеет значения признака не большие, чем медиана, а друга - не меньшие.

Для ранжированного ряда с нечетным числом членов медиа­ной является варианта, расположенная в центре ряда. Положение ме­дианы определяется порядковым номером единицы ряда в соответст­вии с формулой (4.13):

где n - число членов ранжированного ряда.

Для ранжированного ряда с четным числом членов медиа­ной является среднее арифметическое из двух смежных значений, на­ходящихся в центре ряда.

В интервальном вариационном ряду для нахождения медиа­ны применяется следующая формула (4.14):

где нижняя граница медианного интервала;

ширина медианного интервала;

накопленная частота интервала, предшествующего медианному; частота медианного интервала.

Пример. Рабочие бригады, состоящей из 9 чел., имеют сле­дующие тарифные разряды: 4; 3; 4; 5; 3; 3; 6; 2;6. Требуется опреде­лить модальное и медианное значения тарифного разряда.

Поскольку в данной бригаде больше всего рабочих 3-го разряда, то этот разряд и будет модальным, т. е. Мо = 3. Для определения медианы осуществим ранжирование исходного ряда в порядке возрас­тания значений признака:

2; 3; 3; 3; 4; 4; 5; 6; 6.

Центральным в этом ряду является пятое по счету значение признака. Соответственно Ме=4.

Пример. Требуется определить модальный и медианный тарифный разряд рабочих завода по данным следующего ряда распределения.

Разряд	Кол-во рабочих, чел.	Накопленная частота S
1 2 3 4 5 6	13 25 30 19 10 3	13 13+25=38 38+30=68 68+19=87 87+10=97 97+3=100
ВСЕГО	100	100

Поскольку исходный ряд распределения является дискретным, то модальное значение определяется по максимальному показателю частоты. В данном примере на заводе больше всего рабочих 3-го разряда (f_max=30), т.е. этот разряд является модальным (Мо=3).

Определим положение медианы. Исходный ряд распределения построен на основании ранжированного ряда, упорядоченного по воз­растанию значений признака. Середина ряда находится между 50-м и 51-м порядковыми номерами значений признака. Выясним, к какой группе относятся рабочие с этими порядковыми номерами. Для это­го рассчитаем накопленные частоты. Накопленные частоты ука­зывают на то, что медианное значение тарифного разряда равно трем (Ме=3), поскольку значения признака с порядковыми номе­рами от 39-го до 68-го, в том числе 50-е и 51-е, равны 3.

Пример. Требуется определить модальную и медианную зара­ботную плату рабочих завода по данным следующего ряда распределения.

Размер заработной платы, тыс.руб.	Кол-во рабочих, чел.	Накопленная частота S
1	2	3
180-240 240-300 300-360 360-420 420-480 480-540 540-600	5 15 20 30 15 10 5	5 20 40 70 85 95 100
ВСЕГО	100	100

Поскольку исходный ряд распределения является интерваль­ным, то модальное значение заработной платы рассчитывается по формуле. При этом модальным является интервал 360-420 с максимальной частотой, равной 30.

Медианное значение заработной платы также рассчитывает­ся по формуле. При этом медианным является интервал 360—420, на­копленная частота которого равна 70, тогда как накопленная час­тота предыдущего интервала составляла только 40 при общем числе единиц, равном 100.