4.3. Сущность и значение средних величин, их виды

Наиболее распространенной формой статистического показателя является средняя

величина. Показатель в форме средней величи­ны выражает типичный уровень признака в совокупности. Широкое применение средних величин объясняется тем, что они позволяют и сравнивать значения признака у единиц, относящихся к разным сово­купностям. Например, можно сравнивать среднюю продолжитель­ность рабочего дня, средний тарифный разряд рабочих, средний уровень заработной платы по различным предприятиям.

Сущность средних величин заключается в том, что в них взаи­мопогашаются отклонения значений признака у отдельных единиц со­вокупности, обусловленные действием случайных факторов. Поэтому средние величины должны рассчитываться для достаточно много­численных совокупностей (в соответствии с законом больших чи­сел). Надежность средних величин зависит также от колеблемости значений признака в совокупности. В общем случае, чем меньше ва­риация признака и чем больше совокупность, по которой определяет­ся средняя величина, тем она надежнее.

Типичность средней величины непосредственным образом свя­зана также с однородностью статистической совокупности. Сред­няя величина только тогда будет отражать типичный уровень призна­ка, когда она рассчитана по качественно однородной совокупности. В противном случае метод средних используется в сочетании с методом группировок. Если совокупность неоднородна, то общие средние заменяются или дополняются групповыми средними, рассчитанными по качественно однородным группам.

Выбор вида средних определяется экономическим содержание ем исследуемого показателя и исходных данных. Наиболее часто в статистике применяются следующие виды средних величин: степен­ные средние (арифметическая, гармоническая, геометрическая, квадратическая, кубическая и т. д.), средняя хронологическая, а также структурные средние (мода и медиана).

4.4. Средняя арифметическая и средняя гармоническая величины

Средняя арифметическая величина наиболее часто встреча­ется в социально-экономических исследованиях. Средняя арифмети­ческая применяется в форме простой средней и взвешенной средней.

Средняя арифметическая простая рассчитывается по несгруппированным данным на основании формулы (4.1):

где x- индивидуальные значения признака (варианты);

n- число единиц совокупности.

Пример. Требуется найти среднюю выработку рабочего в бри­гаде, состоящей из 15 человек, если известно количество изделий, произведенных одним рабочим (шт.): 21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.

Средняя арифметическая простая рассчитывается по несгруппированным данным на основании формулы (4.2):

где f - частота повторения соответствующего значения признака (варианта);

∑f — общее число единиц совокупности (∑f = n).

Пример. На основании имеющихся данных о распределении ра­бочих бригады по количеству выработанных ими изделий требуется найти среднюю выработку рабочего в бригаде.

Выработка деталей одним рабочим, шт., x	Число рабочих, чел., f	xf
18 19 20 21 22	2 4 5 3 1	36 76 100 63 22
ВСЕГО	15	297

Примечание 1. Средняя величина признака в совокупности может рассчитываться как на основании индивидуальных значений признака, так и на основании групповых (частных) средних, рассчитанных по отдельным частям совокупности. При этом используется формула средней арифметической взвешенной, а в качестве вариантов значений признака рассматриваются групповые (частные) средние (x_j).

Пример. Имеются данные о среднем стаже рабочих по цехам завода. Требуется определить средний стаж рабочих в целом по заводу.

Номер цеха	Средний стаж работы, лет., X	Число рабочих, чел., f
1 2 3	5 7 10	90 60 50
ВСЕГО	-	200

Примечание 2. В том случае, когда значения осредняемого признака зада­ны в виде интервалов, при расчете средней арифметической величины в качестве значений признака в группах принимают средние значения этих интервалов (х^’) . Таким образом, интервальный ряд преобразуется в дискретный. При этом величи­на открытых интервалов, если таковые имеются (как правило, это первый и по­следний), условно приравнивается к величине интервалов, примыкающих к ним.

Пример. Имеются данные о распределении рабочих предпри­ятия по уровню заработной платы.

Группы рабочих по заработной плате, тыс.руб.	Число рабочих, чел., f	Средняя заработная плата, тыс.руб. x’	x’f
До 250 250-350 350-450 450-550 550-650 650 и более	5 15 20 30 16 14	200 300 400 500 600 700	1000 4500 8000 15000 9600 9800
ВСЕГО	100	-	47900

Средняя гармоническая величина является модификацией средней арифметической. Применяется в тех случаях, когда известны индивидуальные значения признака, т. е. варианты (x), и произведений вариант на частоту (xf=М), но неизвестны сами частоты (f).

Средняя гармоническая взвешенная рассчитывается по формуле (4.3):

Пример. Требуется определить средний размер заработной платы работников объединения, состоящего из трех предприятий, если известен фонд заработной платы и средняя заработная плата работников по каждому предприятию.

Предприятие	Фонд заработной платы, тыс. руб., xf	Средняя заработная плата, тыс. руб., x
1	40 700	370
2	38 700	430
3	50 700	390
ВСЕГО	130100	-

Средняя гармоническая простая в практике статистики исполь­зуется крайне редко. В тех случаях, когда xf= Mm = const, средняя гар­моническая взвешенная превращается в среднюю гармоническую простую (4.4):

Пример. Две машины прошли один и тот же путь. При этом одна из них двигалась со скоростью 60 км/ч, вторая - со скоростью 80 км/ч. Требуется определить среднюю скорость машин в пути.