Введение

Данное учебное пособие является продолжением учебного пособия «высшая математика (часть 1)» для студентов 1-го курса факультета географии и геоэкологии. Его содержание соответствует программе курса высшей математики, изучаемой на факультете во втором семестре. В пособии приводятся основные определения, формулы и теоремы, вошедшие в программу экзамена, разобрано большое количество примеров. Поэтому данное учебное пособие можно использовать как основу при подготовке к экзамену.

Предлагаемое пособие состоит из пяти глав. Нумерация глав продолжает нумерацию глав первой части пособия. В шестой главе изучается поведение функции (возрастание, убывание), даны определение, необходимое и достаточное условия экстремума функции. Изучены такие свойства графика функции, как направление выпуклости, поведение вблизи асимптот. В заключение приводится простая схема полного исследования функции, позволяющая построить ее график.

В седьмой главе даны определения первообразной функции и определенного интеграла. Выведены основные правила интегрирования и табличные формулы. Изучаются основные методы интегрирования функции – замена переменной и интегрирование по частям. На примерах разобраны основные приемы интегрирования различных классов функций (рациональных, иррациональных, тригонометрических).

В восьмой главе пособия изучается определенный интеграл и его основные свойства. Даны простейшие методы нахождения определенного интеграла. Изучены приложения определенного интеграла к вычислению площадей, нахождению длин дуг плоской кривой, вычислению объемов тел с известным поперечным сечением и тел вращения. В данной главе даны определения несобственных интегралов первого и второго рода. Приводятся основные методы определения сходимости несобственных интегралов.

Девятая глава посвящена изучению функций нескольких переменных. Изучен метод исследования формы поверхности, заданной функцией двух переменных, с помощью линий уровня. Даны понятия и методы нахождения частных производных, производной по направлению вектора и градиента функции нескольких переменных. Приведены примеры нахождения частных производных n-го порядка. Дано понятие экстремума функции двух переменных и разобран метод нахождения экстремума.

В десятой главе изучены основные методы решения некоторых видов дифференциальных уравнений первого, второго и n-го порядка. Приведены примеры нахождения решения задачи Коши и общего решения дифференциальных уравнения первого порядка с разделяющимися переменными, однородных и линейных уравнений. Рассмотрены простейшие случаи, в которых дифференциальные уравнения второго и более порядка допускают понижение порядка. Приведен метод решения линейных, однородных дифференциальных уравнений второго порядка с помощью характеристических уравнений.

В целях наиболее краткого изложения материала в предлагаемом пособии приведены следующие обозначения:

Символом  обозначаются определения различных математических понятий или величин.

Символом  обозначаются теоремы, приводимые в пособии с доказательством. При этом символом  обозначается начало доказательства, а символом  – окончание доказательства теорем.

Символом  обозначаются теоремы, приводимые в пособии без доказательства.

Кроме того, в предлагаемом пособии используются стандартные математические сокращения (кванторы):

квантором  обозначается словосочетание «отсюда следует, что»;

квантором  обозначается словосочетание «тогда и только тогда, когда»;

квантором  обозначается словосочетание «для любого» («для любой»);

квантором  обозначается слово «существует»;