- •Часть II
- •Введение
- •Глава 6. Полное исследование функции и построение графика
- •§6.1. Экстремум функции. Монотонность
- •§6.2. Исследование функции на экстремум
- •Необходимое условие экстремума
- •Первое достаточное условие экстремума
- •§6.3. Направление выпуклости и точки перегиба графика функции
- •§6.4. Асимптоты графика функции
- •§6.5. Полное исследование функции и построение графика
- •Глава 7. Неопределенный интеграл
- •§7.1. Определение и свойства неопределенного интеграла
- •Свойства неопределенного интеграла
- •§7.2. Табличное интегрирование
- •§7.3. Подведение множителя под знак дифференциала
- •§7.4. Замена переменной под знаком неопределенного интеграла
- •§7.5. Метод интегрирования по частям
- •§7.6. Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен в знаменателе
- •§7.7. Интегрирование тригонометрических функций
- •Глава 8. Определенный интеграл.
- •§8.1. Задача о площади криволинейной трапеции. Определение определенного интеграла
- •§8.2. Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница
- •§8.3. Замена переменной и интегрирование по частям под знаком определенного интеграла
- •§8.4. Приложения определенных интегралов
- •Вычисление площадей плоских фигур
- •Вычисление длины дуги плоской кривой
- •Вычисление объема тела с известным поперечным сечением.
- •Вычисление объема тела вращения
- •§8.5. Несобственные интегралы
- •Глава 9. Функции нескольких переменных
- •§9.1. Область определения функции нескольких переменных. Непрерывность
- •§9.2. Линии уровня функции двух переменных
- •§9.3. Частные производные первого порядка
- •§9.4. Градиент функции нескольких переменных. Производная по направлению
- •§9.5. Дифференциал функции нескольких переменных и его применение к приближенным вычислениям
- •§9.6. Частные производные высших порядков
- •§9.7. Экстремум функции двух переменных
- •Глава 10. Дифференциальные уравнения
- •§10.1. Дифференциальные уравнения первого порядка
- •1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •2. Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка
- •3. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка
- •§10.2. Простейшие случаи понижения порядка дифференциального уравнения
- •1. Дифференциальные уравнения вида .
- •2. Дифференциальные уравнения вида .
- •3. Дифференциальные уравнения вида .
- •§10.3. Линейные дифференциальные уравненния второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Литература
§8.2. Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница
Перечислим без доказательства основные свойства определенного интеграла от непрерывной на отрезке [a; b] функции f(x).
-
Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:
. (8.4)
-
Определенный интеграл от суммы двух (или нескольких) функций равен сумме интегралов от этих функций:
. (8.5)
-
Пусть с – произвольная точка из промежутка [a; b], тогда:
. (8.6)
-
При изменении порядка интегрирования, определенный интеграл меняет знак на противоположный:
. (8.7)
-
Теорема о среднем значении. На промежутке [a; b] существует такая точка с, что
. (8.8)
-
Оценка определенного интеграла
. (8.9)
При доказательстве этих и других свойств используется определение определенного интеграла (формула (8.2)), однако, при решении практических задач пользоваться определением определенного интеграла крайне затруднительно. Обычно в таких случаях применяется формула Ньютона-Лейбница в сочетании со свойствами определенного интеграла, или приближенные методы.
Формула Ньютона-Лейбница:
. (8.10)
Здесь через F(x) обозначена первообразная функции f(x) на промежутке [a; b]. Если функция f(x) непрерывна на промежутке [a; b], то она интегрируема на [a; b] и, следовательно имеет первообразную.
Пример 8.1. Вычислить определенный интеграл: .
Решение.
.
При вычислении данного интеграла, мы воспользовались 1-м и 2-м свойствами определенного интеграла и формулой Ньютона-Лейбница.
Пример 8.2. Вычислить определенный интеграл: .
Решение. Умножим и разделим подынтегральную функцию на ln10 и внесем множитель под знак дифференциала:
.
§8.3. Замена переменной и интегрирование по частям под знаком определенного интеграла
Замена переменной под знаком определенного интеграла отличается от изученной ранее замены переменной под знаком неопределенного интеграла двумя обстоятельствами:
-
В ходе замены переменной необходимо изменить пределы интегрирования. Так, если старыми пределами интегрирования являлись числа x1 и x2, и мы осуществили подстановку , то новыми пределами интегрирования будут числа .
-
После нахождения первообразной нет необходимости возвращаться к старой переменной x, нужно лишь в соответствие с формулой Ньютона-Лейбница подставить в нее новые пределы интегрирования t1 и t2: .
Пример 8.3. Вычислить определенный интеграл: .
Решение.
.
Формула интегрирования по частям в случае определенного интеграла имеет вид:
. (8.11)
Пример 8.4. Вычислить интеграл: .
Решение.
§8.4. Приложения определенных интегралов
-
Вычисление площадей плоских фигур
Площадь фигуры, ограниченной линиями x = a, x = b, y = f1(x), y = f2(x), где f1(x) и f2(x) – некоторые непрерывные на отрезке [a; b] функции, причем (рис. 8.2), можно найти по формуле . (8.12)
Рис. 8.2. Без ограничения общности мож-
но считать, что . В противном случае обе функции можно увеличить на одну и ту же константу (при этом графики обеих функций сместятся вверх) такую, что новые функции окажутся неотрицательными.
Из рисунка 8.2 видно, что искомая площадь равна разности площадей двух криволинейных трапеций . Каждую из площадей S1 и S2 можно найти по формуле (8.3). Следовательно
.
Пример 8.5. Вычислить площадь земельного участка, ограниченного линиями .
Решение. Построим данные линии в декартовой системе координат (рис. 8.3). Земельный участок изображен заштрихованным. Найдем точку А пересечения параболы с прямой y = x – 1. Для этого решим систему:
.
Таким образом,
Рис. 8.3.
Искомую площадь найдем по формуле (8.12):
Пусть криволинейная трапеция (рис. 8.1) сверху ограничена графиком функции, заданной параметрически на некотором отрезке [t1; t2], причем функция y(t) является непрерывной, а функция x(t) – дифференцируемой на данном отрезке. Тогда площадь S криволинейной трапеции находится по формуле:
. (8.13)
Формула (8.13) получена из формулы (8.3), если в последней произвести замену переменной:
.
Новые пределы интегрирования t1; и t2 находятся из систем , . Они соответствуют началу и концу дуги, соответственно.
Пример 8.6. Вычислить площадь, ограниченную первой аркой циклоиды .
Решение. Построим первую арку циклоиду по точкам:
t |
0 |
|
|
||
x |
0 |
0.57a |
3.14a |
5.71a |
6.28a |
y |
0 |
a |
2a |
a |
0 |
Таким образом, началу арки (точ-
Рис 8.4. ке А) соответствует значение параметра t1 = 0, вершине (точке В) – значение t2 = , и концу (точке С) – значение t3 = 2 . Площадь всей арки циклоиды можно найти, вычислив площадь половины арки S1 (рис. 8.4). По формуле 8.13 получим
.