3. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка

 Дифференциальные уравнения вида

, (10.5)

где – функции, зависящие только от переменной x, называются линейными дифференциальными уравнениями первого порядка.

Линейные дифференциальные уравнения обычно решают при помощи замены переменных:

, (10.6)

причем при такой замене, обе неизвестные функции находятся как решения дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными.

Пример 10.4. Решить задачу Коши:

Решение. 1) Найдем общее решение дифференциального уравнения. Данное уравнение первого порядка является линейным. Следовательно, произведем следующую замену переменной:

, . Тогда

или .

Подберем теперь такую функцию v(x), чтобы v+2xv=0. То есть v(x) будем искать как решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными:

При С = 0 получим: ln| v | = – x². Следовательно, .

При таком выборе функции v(x) исходное дифференциальное уравнение примет вид:

Следовательно, Таким образом,

2) Для решения задачи Коши воспользуемся начальным условием y(0)=0. Тогда и, следовательно, .

§10.2. Простейшие случаи понижения порядка дифференциального уравнения

1. Дифференциальные уравнения вида .

Уравнения вида решаются при помощи n – кратного интегрирования. Рассмотрим пример.

Пример 10.5. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Решение. Четырежды проинтегрируем данное уравнение по переменной x:

,

,

,

,

где , .

Таким образом, общее решение исходного уравнения четвертой степени зависит от четырех произвольных констант.

В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением дифференциальных уравнений второго порядка . Задача Коши для дифференциального уравнения второго порядка имеет вид:

(10.7)

2. Дифференциальные уравнения вида .

Если в дифференциальном уравнении второго порядка отсутствует переменная y, то с помощью замены переменной , данное уравнение сводится к дифференциальному уравнению первого порядка .

Пример 10.6. Найти общее решение дифференциального уравнения:

.

Решение. Произведем замену переменной: . Тогда мы получим дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными: . Разделяя переменные, получим:

. Очевидно, что константа . Мы получили общее решение дифференциального уравнения . Для того, чтобы найти общее решение исходного уравнения мы должны вспомнить, что . Таким образом, можно найти, решая дифференциальное уравнение :

.

Читателям, в качестве упражнения, предлагаем найти данный интеграл самостоятельно.

В полученном общем решении исходного дифференциального уравнения участвуют две произвольные константы a и b.

3. Дифференциальные уравнения вида .

Если в дифференциальном уравнении второго порядка отсутствует переменная x, то с помощью замены переменной , (или просто ) данное уравнение сводится к дифференциальному уравнению первого порядка .

Пример 10.7. Найти общее решение дифференциального уравнения:

.

Решение. Произведем замену переменной: . Мы получим дифференциальное уравнение первого порядка относительно переменной y:

. После сокращения на p, мы убеждаемся в том, что данное уравнение является линейным. Как обычно, его решение найдем, произведя замену :

. (10.8)

1. Функцию v найдем из условия (как любое частное решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными):

.

Подставляя в уравнение (10.8), получим:

. Таким образом, общим решением дифференциального уравнения (10.8) является . Вспоминая о том, что , мы приходим к дифференциальному уравнению первого порядка , из которого найдем :

. Интегрируя последнее равенство, мы находим общий интеграл исходного дифференциального уравнения:

и, следовательно, .