Глава 6. Полное исследование функции и построение графика

§6.1. Экстремум функции. Монотонность

Предположим, что на некотором интервале (a, b) определена некоторая функция y = f(x).

 Точка x₀ называется точкой максимума (локального максимума) функции y = f(x), если существует такая окрестность (x₀ – ; x₀ + ) точки x₀, для всех точек которой (x(x₀ – ; x₀ + )), отличных от точки x₀, выполнено неравенство f(x) < f(x₀). Аналогично определяются точки минимума.

 Точка x₀ называется точкой минимума (локального минимума) функции y = f(x), если существует такая окрестность (x₀ – ; x₀ + ) точки x₀, для всех точек которой, отличных от точки x₀, выполнено неравенство f(x) > f(x₀). Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума (локального экстремума).

 Теорема Ферма. Пусть функция y = f(x) определена на некотором интервале (a, b) и в некоторой точке x₀(a; b) имеет экстремум. Тогда, если в точке x₀ существует производная, то она равна нулю (f(x₀) = 0).

 Теорема Ролля. Пусть на отрезке [a; b] задана непрерывная функция y = f(x), причем:

1. f(x) дифференцируема на интервале (a; b);

2. f(a) = f(b).

Тогда существует точка x₀(a; b), в которой f(x₀) = 0.

 Теорема Лагранжа. Пусть на отрезке [a; b] задана непрерывная функция y = f(x), дифференцируемая на интервале (a; b). Тогда существует точка с(a; b) такая, что справедлива формула

. (6.1)

Равенство (6.1) можно переписать в виде формулы

. (6.2)

Формулу (6.2) называют формулой Лагранжа. Она связывает приращение функции на конечном отрезке с производной функции на этом отрезке.

Следствие. Если на некотором отрезке производная функции тождественно равна нулю, то она является константой на данном отрезке.

Функция называется возрастающей (неубывающей) на интервале (a; b), если она определена на данном интервале и для любых x₁, x₂(a; b) таких, что x₂ > x₁, справедливо неравенство f(x₂) > f(x₁) (f(x₂)  f(x₁)).

Функция называется убывающей (не возрастающей) на интервале (a; b), если она определена на данном интервале и для любых x₁, x₂(a; b) таких, что x₂ > x₁, справедливо неравенство f(x₂) < f(x₁) (f(x₂)  f(x₁)).

Возрастающие и убывающие функции называют монотонными.

 Признак монотонности функции. Если функция f(x) дифференцируема на интервале (a; b) и f(x)  0 (f(x)  0) на (a; b), то функция не убывает (не возрастает) на (a; b).

Предположим, что f(x)  0 для любого x(a; b), и пусть x₁ и x₂ две произвольные точки из (a; b) такие, что x₂ > x₁. Тогда на отрезке [x₁; x₂] выполняются все условия теоремы Лагранжа. Согласно формуле (6.2) получим , где с(x₁; x₂). По условию, оба сомножителя, стоящие в правой части полученного равенства, неотрицательны (f(с)  0, x₂ – x₁ > 0). Тогда f(x₂) – f(x₁)  0 и, следовательно, f(x₂)  f(x₁). Случай f(x)  0 доказывается аналогично. 

Замечание 1. Если f(x) > 0 (f(x) < 0) на (a; b), то функция возрастает (убывает) на (a; b) (доказывается аналогично).

Замечание 2. Положительность (отрицательность) производной на интервале (a; b) не является необходимым условием возрастания (убывания) функции. Например, функция y = x³ возрастает при всех x, однако в точке x = 0 имеет производную f(0) = 0.