§9.5. Дифференциал функции нескольких переменных и его применение к приближенным вычислениям

 Если в точке функция имеет непрерывные частные производные и , то ее полное приращение при переходе от точки М₀ к точке может быть представлено в виде:

, (9.8)

где при , .

 Выражение называется полным дифференциалом функции .

Из формулы (9.8) следует, что дифференциал функции является главной линейной частью полного приращения функции . При достаточно млых x и y выражение существенно меньше дифференциала и им можно пренебречь. Такаим образом мы приходим к следующей приближенной формуле:

(9.9)

Замечание. Формулой (9.9) можно пользоваться для приближенного вычисления значений функций только в точках , достаточно близких к точке . Чем меньше значение , тем точнее значение , найденное по формуле (9.9).

Пример 9.8. Вычислить приближенно, с помощью дифференциала.

Решение. Рассмотрим функцию . Требуется вычислить значение z₁ этой функции в точке (x₁; y₁) = (0,09; 6,95). Воспользуемся приближенной формулой (9.9), выбрав в качестве точки точку (0; 7). Тогда x = x₁ – x₀ = 0,09 – 0 = 0,09, y = y₁ – y₀ = 6,95 – 7 = – 0,05.

.

Итак,

Следовательно,

§9.6. Частные производные высших порядков

Пусть в области D задана функция , имеющая в этой области непрерывные частные производные и . Таким образом, в области D мы получили две новые непрерывные функции двух переменных и . Если в некоторой точке области D функции и имеют частные производные как по переменной x, так и по переменой y, то эти производные называются производными второго порядка функции . Они обозначаются следующим образом:

,

,

,

.

 Если в некоторой точке области D функция имеет непрерывные смешанные производные и , то в точке эти производные равны: .

Из данной теоремы следует, что у функции двух переменных, имеющей непрерывные производные второго порядка достаточно найти не четыре, а всего лишь три производные второго порядка.

Пример 9.10. Найти все вторые частные производные функции и убедится в том, что смешанные производные равны .

Решение. 1) Найдем частные производные первого порядка:

2) Найдем частные производные второго порядка:

Таким образом, .

Аналогично тому, как были определены частные производные второго порядка, можно определить частные производные более высоких порядков.

Пример 9.11. Найти частную производную третьего порядка функции .

Решение. Последовательно дифференцируя исходную функцию дважды по переменной x, а затем, по переменой y, получим:

,

,

.

§9.7. Экстремум функции двух переменных

Предположим, что в некоторой области D задана некоторая непрерывная функция .

 Точка называется точкой максимума (локального максимума) функции , если существует такая окрестность U точки , целиком лежащая в области D, во всех точках которой выполнено неравенство:

.

 Точка называется точкой минимума (локального минимума) функции , если существует такая окрестность U точки , целиком лежащая в области D, во всех точках которой выполнено неравенство:

.

 Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума.

 Необходимое условие экстремума функции двух переменных. Пусть в точке функция имеет непрерывные частные производные. Тогда для того чтобы функция имела экстремум в точке , необходимо выполнение условий:

. (9.10)

 Если в некоторой точке выполнены условия (9.10), то точка называется стационарной (подозрительной на экстремум) точкой функции .

 Достаточное условие экстремума функции двух переменных. Пусть в стационарной точке функция имеет непрерывные частные производные второго порядка , , . Обозначим через – дискриминант функции в точке . Тогда

1. если , то функция имеет экстремум в точке . А именно максимум, если (или ) и минимум, если (или ).

2. если , то функция в точке экстремума не имеет.

3. если , то вопрос о наличии экстремума функции в точке решается с помощью производных более высокого порядка и формулы Тейлора. В данном пособии соответствующие исследования не приводятся.

Пример 9.12. Найти экстремумы функции .

Решение. Найдем частные производные первого порядка: , . Приравняем полученные частные производные к нулю. Получим систему уравнений для определения точек, подозрительных на экстремум:

. Решим данную систему, например, методом Крамера.

Следовательно, . Таким образом, точка М(1; -3) – является единственной точкой, подозрительной на экстремум.

Найдем частные производные второго порядка:

.

В точке М вычислим дискриминант D по формуле D = AC – B², где То есть D = 32 – 9 = 23.

Так как дискриминант больше нуля, то в точке М функция имеет экстремум. А именно, минимум, поскольку А и С больше нуля. При этом