§6.4. Асимптоты графика функции

 Асимптотой графика функции y = f(x) называется прямая линия, к которой неограниченно приближаются точки графика функции при их неограниченном удалении от начала координат. При этом график функции может пересекать асимптоту не более чем конечное число раз.

Различают вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты.

 Прямая линия x = x₀ является вертикальной асимптотой графика функции y = f(x) слева (справа), если соответствующий односторонний предел в точке x₀ (ч. 1, гл. 4) равен бесконечности или .

Если прямая линия x = x₀ является вертикальной асимптотой графика функции y = f(x), то, очевидно, что x₀ является точкой разрыва второго рода данной функции.

 Прямая линия y = y₀ является горизонтальной асимптотой графика функции y = f(x) при (), если ().

 Если существуют и конечны пределы

и , (6.5)

то прямая линия y = k₁x + b₁ является наклонной асимптотой графика функции y = f(x) при .

 Если существуют и конечны пределы

и , (6.6)

то прямая линия y = k₂x + b₂ является наклонной асимптотой графика функции y = f(x) при .

Очевидно, что горизонтальные асимптоты являются частным случаем наклонных (при k = 0).

Пример 6.4. Найти асимптоты графика функции .

Решение. 1) Найдем односторонние пределы в точке разрыва данной функции: , . Так как оба предела равны бесконечности, то прямая линия x = 3 является вертикальной асимптотой графика функции (как слева, так и справа).

2. Очевидно, что , следовательно, прямая линия y = 0 (ось OX) является горизонтальной асимптотой. График данной функции схематически изображен на рис. 6.7.

Рис. 6.7.

Пример 6.5. Найти асимптоты графика функции .

Решение. 1) Найдем односторонние пределы в точке разрыва данной функции (в точке x = 0).

Если , то и, следовательно, .

Если , то . В этом случае предел вычисляем по правилу Лопиталя:

.

Следовательно, прямая линия y = 0 является вертикальной асимптотой графика исходной функции справа.

2) Наклонные асимптоты будем искать, используя формулы (6.5) – (6.6).

,

.

Следовательно, прямая линия y = x + 1 является наклонной асимптотой графика исходной функции (при и при ). График функции постройте самостоятельно (в качестве упражнения).

§6.5. Полное исследование функции и построение графика

Схема общего исследования функции:

1. Найти область определения функции .

2. Найти область значений функции (если это возможно), точки пересечения графика функции с осями координат, участки знакопостоянства.

3. Определить вид функции (четная, нечетная, общего вида).

4. Определить периодичность функции.

5. Исследовать функцию на непрерывность. Найти вертикальные, наклонные или горизонтальные асимптоты графика функции.

6. Найти критические точки первого рода.

7. Найти критические точки второго рода.

8. Заполнить таблицу исследования.

9. По результатам исследования построить график функции.

Пример 6.6. Провести полное исследование и построить график функции

Решение.

1. Область определения .

2. Пусть x = 0, тогда y = 1,5. Пусть y = 0, тогда x = . То есть точки (0; 3/2) и (; 0) – являются точками пересечения графика функции с осями координат. Если , то y(x) < 0. Если то y(x) > 0.

3. Функция общего вида, т. е. не является ни четной, ни нечетной. Действительно, То есть y(-x)  y(x) и y(-x) - y(x).

4. Функция не является периодической, так как она имеет только одну точку разрыва.

5. Функция непрерывна в области определения, так как является дробно-рациональной. Для исследования типа разрыва в точке x = 2, найдем односторонние пределы

Следовательно, точка x = 2 является точкой разрыва второго рода, и прямая линия x = 2 является вертикальной асимптотой графика функции.

Уравнения наклонных (горизонтальных) асимптот графика функции будем искать в виде: y=kx+b, где k и b определяются по формулам (6.5) – (6.6):

Таким образом, прямая y = x + 2 является наклонной асимптотой.

6. Найдем первую производную функции:

Итак, критическими точками 1-го рода являются точки x = 1 и x = 3. Точка x=2 критической не является, т. к. она не принадлежит области определения функции.

7. Найдем вторую производную функции:

Критических точек второго рода функция не имеет.

8. Составим таблицу исследования функции:

x	(–; 1)	1	[1; 2)	2	(2; 3)	3	(3; )
y(x)	+	0	–	Не сущ.	–	0	+
y(x)	–	–	–	Не сущ.	+	+	+
y(x)		max y = 2.		Не сущ.		min y= 6.

9. Построим график функции (рис.6.8):

Рис. 6.8.