4
.pdf
Угол между двумя плоскостями – двугранный угол. Плоскости 
и - грани этого угла, а линия пересечения этих плоскостей MN- ребро двугранного угла. Мерой измерения этого угла служит линейный (плоский) угол , полученный проецированием двугранного угла на плоскость проекций, перпендикулярной ребру
MN (рис. 65).
Пn n
Рис. 65
Определить двугранный угол
Дано:
( ABC) ( ABD)
, - ?
Для определения линейного угла , измеряющего двугранный угол, достаточно расположить его так, чтобы ребро [АВ] оказалось перпендикулярным плоскости проекций.
112
1.Преобразуйте ребро [АВ] общего положения в прямую уровня, применив первую основную задачу преобразования комплексного чертежа.
П 2 |
|
П1 |
П1 |
|
П 4 |
П2 |
П4 П1 ; П4 || [AB] |
X12 |
X14|| [A1B1] |
2.Преобразуйте ребро [АВ] в проецирующую прямую, применив вторую исходную задачу.
На плоскости проекции П5
ребро [AB] |
|
вырождается в |
|||||
точку, а грани АВС и АВD |
|||||||
вырождаются |
|
|
|
в |
отрезки |
||
прямых. |
|
|
|
|
|
||
На П4 линейный угол |
|||||||
спроецируется |
в |
натуральную |
|||||
величину. |
|
|
|
|
|
||
|
П1 |
|
|
П 4 |
|
|
|
|
П 4 |
|
П5 |
|
|
||
П1 |
П5 |
П4 |
|||||
П5 |
[AB] |
|
|
||||
|
X14 |
|
X45 |
|
[A4B4] |
||
= |
, |
|
|
|
|||
113
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1.Зачем необходимо преобразование комплексного чертежа?
2.Какие основные задачи решаются путем преобразования чертежа?
3.В чем сущность способа замены плоскостей проекций?
4.Как надо расположить новые плоскости проекций, чтобы отрезок прямой общего положения спроецировался в натуральную величину, в точку?
5.Как нужно расположить новую плоскость проекций, чтобы плоскость общего положения стала проецирующей?
ТЕСТ №7
1. На каком чертеже введена плоскость П4 для определения угла наклона отрезка (АВ) к П1?
2. На каком чертеже в результате замены будет определен угол наклона отрезка (АВ) к П2?
3. На каком чертеже одной заменой возможно преобразование прямой в проецирующее положение?
4 На каком чертеже для преобразования прямой в проецирующее положение ось задана неверно?
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
B2 |
Х24 |
B2 |
|
B2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А2 |
Х24 |
А2 |
|
А2 |
|
А2 |
B2 |
|
|
|
|
|
Х12 |
|
|
Х12 |
|
Х12 |
|
А1 |
|
Х12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B1 |
|
B1 |
Х14 |
B1 |
|
B1 |
А1 |
|
А1 |
|
|
|
А1 |
|
|
|
|
|
|
|
Х14 |
|
|
|
|
|
114 |
|
|
|
9. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ПЛОСКОСТЯМИ
Сечением называется плоская фигура, полученная в результате пересечения тела плоскостью и содержащая точки, принадлежащие как поверхности тела, так и секущей плоскости.
Плоскости, которые образуют сечения, называют секущими. Плоскость, пересекая поверхность многогранника, дает сечение в виде многоугольника. Вершинами такого многоугольника являются точки пересечения ребер многогранника с секущей плоскостью, а сторонами – прямые линии пересечения граней с секущей плоскостью (рис.66).
S
M |
А
K |
N С
Г
- пирамида
Г– секущая плоскость
MNK – сечение (треугольник)
В
Рис.66
Плоскость, пересекая кривые поверхности, в общем случае дает криволинейную фигуру (окружность, эллипс и т.д.) (рис.67).
m
- цилиндр
– секущая плоскость
m- линия сечения (эллипс)
Рис.67
115
Построение линий сечения поверхности плоскостью значительно упрощается, если секущая плоскость является проецирующей. В этом случае одна из проекций линии сечения совпадает с проекцией проецирующей плоскости.
9.1 ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПИРАМИДЫ ПРОЕЦИРУЮЩЕЙ ПЛОСКОСТЬЮ
|
|
S2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Построить линию |
||||
|
|
|
|
пересечения |
|
|
||
Г2 |
|
|
пирамиды |
плоскостью Г |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Дано: |
- пирамида |
|||
А2 |
|
B2 |
C2 |
Г- плоскость |
|
|
||
|
|
B1 |
|
Г П2 |
|
|
|
|
|
|
|
Построить: Г |
=m |
||||
|
|
|
|
|||||
А1 |
|
S1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C1 |
|
|
|
|
|
|
|
S2 |
|
1.Фронтально проецирующая |
||||
|
m2 |
|
|
плоскость Г пересекает три |
||||
|
|
|
ребра пирамиды: |
|
||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
32 |
|
Г |
SA=1 |
|
|
|
|
|
|
Г |
SB=2 |
|
|
|
|
Г2 |
|
22 |
|
|
|
|
||
|
|
|
Г |
SC=3 |
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
||
А2 |
|
|
|
m = (1-2-3) |
|
|
||
|
B2 |
C2 |
Фронтальная проекция линии |
|||||
|
|
B1 |
|
пересечения m 2(12-22-32) |
||||
|
|
|
совпадает с фронтальной |
|||||
|
|
21 |
|
|||||
|
|
|
проекцией Г2 |
|
|
|||
А1 |
|
S1 |
|
|
|
|||
12 |
|
|
|
|
|
|
||
|
31 |
|
|
|
|
|
|
|
|
m1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C1 |
|
|
|
|
|
116
|
|
S2 |
|
|
m2 |
|
|
|
|
32 |
|
Г2 |
|
22 |
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
А2 |
|
B2 |
C2 |
|
|
B1 |
|
|
|
21 |
|
А1 |
12 |
S1 |
|
|
31 |
|
|
|
m1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C1 |
2.Горизонтальные проекции
линии (11-21-31) получают с помощью вертикальных линий связи, перенося все точки с фронтальной проекции на горизонтальную проекцию.
3.Соединяя последовательно
точки |
11,21,31 |
отрезками |
прямых, |
|
получают |
горизонтальную |
проекцию |
|
линии сечения. |
|
|
9.2 ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПИРАМИДЫ ПЛОСКОСТЬЮ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ
|
|
S2 |
K2 |
Дано: |
- пирамида |
|
|
|
Г(МК MN)- о.п. |
|
|||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Построить: Г |
=m |
|
M2 |
|
N2 |
|
|
|
|
Х12 |
|
|
|
|
|
|
|
A2 |
B2 |
C2 |
|
|
|
|
|
|
K1 |
|
|
|
|
|
|
C1 |
Построить линию пересечения |
||
|
|
|
|
|||
M1 |
A1 |
|
|
пирамиды |
плоскостью |
|
|
S1 |
|
общего положения Г. |
|||
|
|
|
||||
|
|
B1 |
|
|
|
|
|
|
N1 |
|
|
|
|
117
|
|
|
|
|
|
|
|
1.Преобразуйте |
плоскость |
||
|
|
|
S2 |
|
|
K2 |
|
общего |
положения |
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
проецирующую, |
с помощью |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
метода |
замены |
плоскостей |
|
M2 |
|
|
|
|
|
|
|
проекций. |
|
|
|
|
N2 |
|
|
|
|
2. Новую плоскость проекций |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Х12 |
A2 |
|
B2 |
C2 |
|
П4 проведите перпендикулярно |
|||||
|
|
K1 |
заданной плоскости Г |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
C1 |
(перпендикулярно горизонтали |
||||
M1 |
A1 |
|
S1 |
|
|
|
C4 |
(MN) заданной плоскости). |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Ортогонально спроецируйте |
|||
|
|
|
B1 |
B4 |
|
|
призму |
на новую плоскость |
|||
|
|
N1 |
|
|
|
проекций П4 . |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Х14 |
|
A4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Спроецируйте плоскость Г |
|
||
|
|
|
|
S2 |
|
K2 |
на новую плоскость проекций |
||||
|
|
|
|
|
П4. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г занимает в системе П1/П4 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
проецирующее положение. |
|
||
M2 |
|
|
N2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Х12 |
A2 |
|
|
|
B2 |
C2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
K1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C1 |
|
|
|
|
M1 |
A1 |
|
|
S1 |
|
|
C4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
B1 |
|
|
K4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
N1 |
|
|
B4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A4 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Х14 |
|
|
N4 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
S4 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
118 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
В системе П1/П4 |
|
|
|
|
|
|
|
построение линии |
|
|
|
|
|
|
|
|
пересечения пирамиды с |
||
|
|
|
|
|
|
плоскостью Г сводится к |
||
|
|
|
|
S2 |
K |
предыдущей задаче. |
||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
32 |
|
6. |
Затем, получив точки |
|
|
|
|
|
|
14,24,34, по линиям |
|||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
12 |
|
22 |
|
проекционной связи найдите |
||
|
M2 |
N2 |
|
их горизонтальные (11,21,31) |
||||
|
|
|
|
|||||
Х12 |
|
|
|
|
|
и фронтальные проекции |
||
|
A2 |
|
B2 C2 |
(12,22,32). |
|
|||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
K1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
C1 |
|
Г |
=m |
|
M1 |
|
|
31 |
|
C4 |
|
|
|
A1 |
11 S1 |
|
m = (1-2-3) |
||||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
21 |
|
|
K4 |
|
|
|
|
|
B1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N1 |
B4 |
|
34 |
|
|
|
|
|
A4 |
24 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Х14 |
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
N4 |
|
S4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
119
9.3 ПЕРЕСЕЧЕНИЕ СФЕРЫ ПЛОСКОСТЬЮ
При пересечении сферы плоскостью всегда получается
окружность.
Рассмотрим пересечение сферы плоскостью уровня и проецирующей плоскостью.
9.4 ПЕРЕСЕЧЕНИЕ СФЕРЫ ПЛОСКОСТЬЮ УРОВНЯ
прямая П2
Г
П1
окружность
рис. 68
Если секущая плоскость
(рис.68) параллельна
какой-либо плоскости проекций, то на эту плоскость окружность сечения проецируется без искажения.
На остальные плоскости проекций окружность сечения проецируется в отрезок прямой.
10.5 ПЕРЕСЕЧЕНИЕ СФЕРЫ ПРОЕЦИРУЮЩЕЙ ПЛОСКОСТЬЮ
прямая П2
Г
П1
эллипс
рис. 69
Если секущая плоскость
(рис.69) занимает проецирующее положение, то на плоскости проекций, которой секущая плоскость перпендикулярна (на фронтальной плоскости проекций П2), окружность сечения изображается отрезком прямой, длина которого равна диаметру окружности.
На остальные плоскости проекций окружность сечения проецируется в эллипсы, которые строят по точкам.
120
9.6 ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ СФЕРЫ ПЛОСКОСТЬЮ УРОВНЯ
|
|
|
|
|
|
|
|
Дано: - сфера |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Г|| П1 |
|
|
|
|
|
|
|
m2 |
m3 Построить линию пересечения |
|
|||||||
|
Г2 |
|
m = |
Г |
|
|
|
|||||
|
|
Фронтальная |
проекция m2 |
- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
R |
|
||||||||
|
|
|
|
отрезок прямой, совпадает с |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
фронтальной |
проекцией |
Г2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
плоскости. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Горизонтальная |
проекция |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
линии m1 - окружность радиусом |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
R. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m1 |
|
Профильная |
проекция линии |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
сечения |
m3 |
вырождается |
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
отрезок прямой. |
|
|
||
|
|
|
|
Дано: - сфера |
|
|
|
|
|
|| |
П2 |
n2 |
|
Построить линию пересечения |
|||
|
|
|
|
n = |
|
|
|
|
|
Горизонтальная проекция n1 – |
|
|
|
|
y |
отрезок прямой, совпадает с |
|
|
|
|
|
проекцией |
1 плоскости. |
|
|
|
|
||
|
|
|
n3 |
Фронтальная проекция линии |
|
|
|
|
|
n2 – окружность радиусом R. |
|
1 |
|
R |
y |
Профильная проекция n3 – |
|
|
|
|
n1 |
вырождается в прямую. Замерьте |
|
|
|
|
координату «у» на |
||
|
|
|
|
горизонтальной проекции и |
|
|
|
|
|
отложите «у» на профильной |
|
|
|
|
|
проекции. |
|
121