4
.pdf
10.5 ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ С ПОВЕРХНОСТЬЮ СФЕРЫ
Дано: - сфера .о.п. (АВ)- о.п.
Найти: (АВ) 
= M,N
Позиционная задача относится к типу «С», поэтому примените алгоритм первой главной позиционной задачи.
1. Заключите прямую (АВ) в горизонтальнопроецирующую плоскость Г. Плоскость пересечет поверхность сферы по окружности «m», фронтальной проекцией которой будет эллипс. Если спроецировать линию «m» на плоскость параллельную прямой (AB), то линия пересечения проецируется в окружность.
m Поэтому для более точного
1
решения задачи примените метод замены плоскостей проекций.
142
3. |
Замените П2 /П1 |
на |
П4/П1. |
|
|
П4 |
П1 |
|
П4 |
|| (АВ) |
|
На |
плоскость |
П4 |
окружность проецируется в натуральную величину. Центр окружности «m» и центр сферы совпадают. Поэтому замерьте расстояние от оси Х12 до центра сферы на плоскости П2 и отложите это расстояние от новой оси
Х14.
4.Радиус R окружности замерьте на плоскости П1
Г
= m
m4–натуральная величина
143
5.Спроецируйте прямую (АВ) на плоскость П4 . Пересечение прямой (АВ) с линией m даст искомые точки M и N.
(АВ) |
m = M,N |
m |
|
(AB) |
= M,N |
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1.Какие задачи относятся к 1 Г.П.З?
2.Сформулируйте алгоритм решения 1 Г.П.З ?
3.Как определяется видимость прямой в 1 Г.П.З ?
ТЕСТ №9
1. В каком случае прямая «а» пересекает поверхность в четырех точках?
2. В каком случае проекции 2 точек входа и выхода на П2 будут невидимыми?
3.В каком случае проекции 2 точек входа и выхода на П1 будут видимыми?
4. В каком случае проекции 2 точек входа и выхода на П2 будут видимыми?
144
1 |
2 |
3 |
4 |
|
a2 |
a2 |
a2 |
|
a2 |
||
|
|
|
|
|
|
a1 |
a1 |
|
a1 |
|
|
|
|
|
|
|
a1 |
|
|
11.ПЕРЕСЕЧЕНИЕ КРИВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Вобщем случае линию пересечения двух кривых поверхностей между собой строят по точкам, которые находят с помощью вспомогательных секущих поверхностей (рис.71).
К |
|
A |
N |
Дано: и - криволинейные |
|
|
поверхности. |
||
|
M |
|
L |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Г
Построить: линию пересечения поверхностей 
и 
Рис.71
145
АЛГОРИТМ ПОСТРОЕНИЯ ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ.
1.Проведите вспомогательную поверхность Г.
2. |
Г пересекает поверхность |
по линии (KL). |
3. |
Г пересекает поверхность |
по линии (MN). |
4. |
Линии (KL) и (MN) пересекаются в точке А. |
|
Точка А принадлежит линии пересечения заданных поверхностей.
5.Повторяя такие построения многократно, с помощью «n» вспомогательных поверхностей находят «n» общих точек двух поверхностей для проведения линии их пересечения.
В качестве вспомогательных поверхностей применяют плоскости и сферы, так как линии пересечения с заданными поверхностями представляют собой графически простые линии
(прямые и окружности).
Существует два способа построения линии пересечения поверхностей.
СПОСОБЫ ПОСТРОЕНИЯ ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ
СПОСОБ |
|
СПОСОБ |
ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ |
|
ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ |
СЕКУЩИХ ПЛОСКОСТЕЙ |
|
СЕКУЩИХ СФЕР |
|
|
|
11.1 СПОСОБ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ СЕКУЩИХ ПЛОСКОСТЕЙ
Построить |
линию |
пересечения поверхности конуса |
с |
поверхностью |
сферы |
с помощь вспомогательных |
секущих |
|
|
146 |
|
плоскостей (рис.73). В качестве вспомогательных плоскостей применяют серию горизонтальных плоскостей, перпендикулярных оси конуса, которые пересекают сферу и конус по окружностям.
Рис. 73
Линию пересечения строят по отдельным точкам:
1.Определяют опорные точки (точки пересечения контурных линий одной поверхности с другой поверхностью).
2.Выбирают промежуточные точки.
147
Дано: - конус - сфера
= s
1. Определите опорные точки. Точки: А – высшая, В - низшая являются точками пересечения фронтальных проекций очерков, так как центр сферы и ось конуса лежат в плоскости, параллельной плоскости П2.
2. Проведите первую секущую плоскость через экватор сферы.
3. пересечет конус по окружности «m» (радиус показан фигурной скобкой).
4.пересечет сферу по экватору «n».
5.Пересечение «m» и «n» даст точки C и D искомой линии пересечения. Горизонтальные проекции этих точек являются границами видимости участков линии пересечения на этой проекции.
=m
=n
m n = C, D
148
a2 |
b2 |
6. Новую секущую плоскость |
|
|
|
|
|
I , проведите выше экватора, |
|
|
но ниже точки А. |
= a
= b
a b = 1, 1I
Точки 1 и 1I являются промежуточными.
а1 |
b1 |
7. Третью секущую плоскость II , проведите ниже
экватора, но выше точки В.
= с
= d
c d = 2, 2I
Точки 2 и 2I являются промежуточными.
149
8. Соедините полученные точки плавной линией с учетом видимости.
s= (A-1-D-2-B-2I- C-1I –A)
11. 2 СПОСОБ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ КОНЦЕНТРИЧЕСКИХ СФЕР
Для построения линии пересечения поверхностей (рис.74)
применяют способ вспомогательных концентрических сфер в том случае, если:
1. Пересекающиеся поверхности представляют собой поверхности вращения.
2.Оси поверхностей вращения пересекаются. Точка пересечения осей является центром вспомогательных сфер.
3.Оси поверхностей вращения должны быть параллельны какой-либо плоскости проекций.
4. Нельзя применить метод секущих плоскостей.
150
Рис.74
Способ введения вспомогательных концентрических сфер основан на том, что всякая поверхность вращения пересекается с поверхностью вспомогательной сферы, имеющей центр на ее оси, по окружности (рис. 75).
окружность
Секущая сфера
Рис.75
Пределы радиусов сферических поверхностей находят следующим образом: наибольшая окружность сферической поверхности должна пересекаться с контурными образующими поверхностей и наименьшая должна быть касательной к одной из данных пересекающихся поверхностей и пересекаться с образующими другой поверхности.
В отличие от метода вспомогательных секущих плоскостей метод вспомогательных сфер имеет преимущество, так как при построении фронтальной проекции линии пересечения поверхностей, не используются две другие проекции пересечения поверхностей.
151