2.5. Коэффициент корреляции рангов.

К мерам тесноты парной связи относится и предложенный английским психологом Ч.Спирменом (1863-1945) коэффициент корреляции рангов.

Ранги - это порядковые номера единиц совокупности в ранжированном ряду. Если проранжировать совокупность по двум признакам, связь между которыми изучается, то полное совпадение рангов означает максимально тесную связь, а полная противоположность рангов - максимально тесную обратную связь.

Ранжировать оба признака следует в одном и том же порядке: либо от меньших значений признака к большим, либо наоборот. Если ранги единиц совокупности по признакам х и у обозначить как Р_x , Р_y , то коэффициент корреляции рангов принимает вид:

r_pxpy=, (2.5.1)

где РхиРу – средние значения рангов. Известно, что средние ранги вычисляются по формуле (n+1)/ 2. Также известно, что сумма квадратов отклонения чисел натурального ряда от их средней величиныиравна

(1.5.2)

Следовательно, знаменатель формулы (1.5.1.) равен . Рассмотрим далее разности ранговd_i=и сумму их квадратов отклонений

=

= (1.5.3)

Откуда следует:

:2=(1.5.4)

Подставив (1.5.4.) в (1.5.1) , получим

(1.5.5)

Формула (1.5.5) представляет собой формулу Спирмена (формула корреляции рангов). Преимущество коэффициента корреляции рангов состоит в том, что ранжировать можно и по таким признакам, которые нельзя выразить численно.

Недостатком коэффициента корреляции рангов является то, что одинаковым разностям рангов могут соответствовать различные разности значений признаков (в случае количественных признаков). Поэтому для количественных признаков следует считать корреляцию рангов приближенной мерой тесноты связи, обладающей меньшей информативностью, чем коэффициент корреляции числовых значений признаков.

Если среди значений признаков х и у, имеется несколько одинаковых значений, то образуются связанные ранги, т.е. одинаковые средние номера. Например, вместо одинаковых по порядку третьего и четвертого значений признака будут записаны 2 ранга по (3+4)/2=3,5.

Пример. В таблице 1 представлены ответы респондентов, полученные в результате социологического опроса.

Таблица 1.2.

X1	X2	X3
180	115	86
192	131	99
176	176	78
199	167	85
182	106	121
184	132	99
221	161	154
192	205	155

Задание

1. Установите вид связи и тенденцию между всеми парами компонентов по следующей схеме:

   1. Вычислите коэффициенты корреляции;

   2. Установите вид (степень) корреляционной связи между парами компонентов;

   3. Проверьте гипотезы о значимости парных коэффициентов корреляции.

   4. По заданию сделайте вывод в терминах решаемой задачи

Решение

Связь между признаками Х1, Х2.
Выдвигаем гипотезу Н0 - отсутствие связи( r12=0);
 = 0,05 - уровень значимости,
k = n - 2 = 8 - 2 = 6 - число степеней свободы.
N	X1	X2
1	180	115
2	192	131
3	176	176
4	199	167
5	182	106
6	184	132
7	221	161
8	192	205
Средние	190,750	149,125
Ст. отклон.	14,350	33,702
Коэф.кор r12	0,300
t наблюд	0,772
t критич.	2,447
t наблюд. < t крит. Согласно критерию Стьюдента, гипотеза H0: r13= 0 принимается, т.е. Х2 не влияет на Х2

Решим задачу для трех выбранных признаков Х1, Х2, Х3. Тогда в нашем примере результаты могут быть представлены в следующей форме:

Связь между признаками Х2, Х3
Выдвигаем гипотезу Н0- отсутствие связи ( r13=0);
a = 0,05 - уровень значимости,
k = n - 2 = 8 - 2 = 6 - число степеней свободы.
N	X1	X3
1	180	86
2	192	99
3	176	78
4	199	85
5	182	121
6	184	99
7	221	154
8	192	155
Средние	190,750	109,625
Ст. отклон.	14,350	30,584
Коэф. кор r13	0,610
t наблюд	1,888
t критич.	2,447
t наблюд. < t крит. Согласно критерию Стьюдента, гипотеза H0: r13= 0 принимается, т.е. Х2 не влияет на Х3

Аналогично можно определить вид связи между признаками Х1 и Х3.