Глава 1. Математические модели.

1.1. Классификация моделей.

Модель есть отображение: целевое, абстрактное или реальное, статическое или динамическое, интерактивное, конечное или бесконечное, упрощенное и приближенное, имеющее условно-истинное или даже ложное содержание, развивающееся в процессе его создания и использования.

Научная модель – правильное отражение интересующих исследователя свойств объекта или процесса. Следовательно, моделей одного и того же объекта может быть много. По типам модели делятся на изобразительные, аналоговые и символьные.

Изобразительные модели отражают внешние (визуальные) свойства объекта. Глобус – изобразительная модель Земли.

Аналоговые модели представляют собой другие процессы, подобные исходным или описываемые подобными уравнениями (имеющими сходные законы протекания).

Символьные – написаны на бумаге.

Функционально модели подразделяются на описательные и конструктивные.

Описательные предназначены для количественного или качественного описания операции и не содержат управлений.

Конструктивные,напротив, предназначены для проведения экспериментов и зависят от управляющих параметров, значения, которых можно менять в процессе экспериментов.

В практическом соотнесении модели с натурой выявляется степень истинности модели как представления свойств объекта. Модель, с помощью которой достигается цель, будем называть адекватной этой цели.

1.2. Этапы построения математических моделей

На практике задача построения математической модели включает следующие этапы:

1. содержательная постановка задачи,

2. математическая постановка задачи,

3. построение математической модели,

4. проверка адекватности модели,

5. построение корректирующего алгоритма,

6. реализация решения.

Рассмотрим более подробно каждый из названных этапов.

Этап 1. Содержательная постановка задачи. Это чрезвычайно ответственный этап операционного исследования. Первоначально задачу формулируют с точки зрения заказчика. Такая постановка задачи обычно не бывает окончательной.

Во время анализа исследуемой системы задача постепенно уточняется. На этом этапе главную роль играет тщательное обследование объекта, изучение множества факторов, влияющих на результаты исследуемого процесса.

После сбора данных и их анализа необходимо выделить совокупность существенных факторов, уточнить окончательно содержательную (словесную) постановку задачи.

Для выяснения упущенных факторов и их взаимосвязей проводят дополнительное обследование объекта.

Получив достаточно строгую и логически непротиворечивую, содержательную постановку задачи, на следующем этапе строят её математическую модель. Этот процесс называется формализацией задачи.

Этап 2. Построение математической модели. При создании модели желательно ответить на следующие вопросы:

1. Для кого создается модель? Зачем?

2. Модель чего? Какими средствами она создается?

3. В какой среде? Какого качества? Каким способом?

Если не удается сразу построить полную модель, то возможно ее постепенное построение в процессе принятия решения. В самом общем случае математическая модель задачи имеет вид:

max E = f (X, Y)

(1.2.1)

при ограничениях g _i (X, Y)  b _i , i = 1, m ,

где E = f (X, Y) - целевая функция (показатель качества системы или эффективность системы);

X - вектор управляемых переменных;

Y - вектор неуправляемых переменных;

g _i (X, Y) - функция потребления i - го ресурса;

b _i - величина i – го ресурса.

Этап 3. Решение задачи на модели.Выполняется решение задачи, сформулированной на этапе 2, известными математическими методами. Если подходящего метода не существует, то разрабатывается новый алгоритм. Результатом построения модели является:

• Линейная модель, если f(X,Y) и g_i(X,Y) – линейные функции относительно переменных X , Y;

• Нелинейная модель, если f(X,Y) и g_i(X,Y) – нелинейные функции относительно переменных X , Y;

• Динамическая модель, если f(X,Y) имеет специфическую структуру, т.е. является аддитивной или мультипликативной функцией относительно переменных X , Y;

• Стохастическая модель, если Y – случайная величина, а вместо функции f (X, Y) рассматривают её математическое ожидание M [f (X, Y)];

• Дискретная, если на переменные X , Y наложено условие дискретности (например, требование целочисленности);

• Эвристическая модель, если точный оптимум найти алгоритмическим путем невозможно из-за огромного числа вариантов. В этом случае отказываются от поиска оптимального решения и отыскивают достаточно хорошее (или удовлетворительное с точки зрения практики) решение. При этом пользуются специальными приемами – эвристиками, позволяющими существенно сократить число просматриваемых вариантов.

Из перечисленных моделей наиболее развитым и законченным является линейное моделирование. В его рамки укладывается широкий круг задач. Методы решения таких задач условно подразделяются на 4 группы: дедуктивные методы, индуктивные методы, итерационные методы, специфические методы.

Этап 4. Проверка адекватности модели. Поскольку оптимальные значения переменных, полученные в результате решения, улучшают качество функционирования системы только в том случае, когда исследуемая модель является хорошим описанием системы, то необходима проверка модели на соответствие реальной действительности. Проверку производят сравнением предсказанного поведения с фактическим поведением при изменении значений неуправляемых внешних воздействий.

Проверку и корректировку модели можно производить, например, по логической схеме, представленной на рисунке 1.2.1., где Х - вектор управляемых переменных, Y– вектор неуправляемых переменных, Х_вых.о – выходные параметры объекта, Х_вых.м. – выходные параметры модели. Х_вых.о и Х_вых.м. подаются на элемент сравнения ЭС, и вычисляется величина ошибки по формуле:  = | Х_вых.о — Х_вых.м.|.

Y

X_{выход. о}

Объект

X_вход Регулятор  Да

ЭС    _{доп. Модель}

...^{адекватна}

Модель f (X, Y) X _{выход. m}

Рис. 1.2.1. Логическая схема модели.

Если величина  превышает допустимое значение отклонения  _доп. (его выбирают, исходя из требуемой степени адекватности модели), то это свидетельствует о том, что упущены некоторые важные факторы взаимосвязи модели. В этом случае производят корректировку модели.

Этап.5. Построение корректирующего алгоритма. Этот этап выполняется в том случае, если модель предполагается использовать длительное время. Тогда в окружающей действительности могут произойти изменения, требующие изменения модели.

Этап.6. Внедрение.Реализация решения на практике является важнейшим этапом, завершающим операционное исследование.

Внедрение можно рассматривать как самостоятельную задачу, применив к ней системный подход и анализ. После окончания исследования должна быть разработана программа внедрения его результатов в практику (рабочая программа):

- кто и что должен делать,

- когда выполняются те или иные действия,

- какая информация, и какие средства нужны для этого.

Полученное предварительно математическое решение принимает содержательную форму и предстает перед заказчиком в виде инструкций и рекомендаций.