1. Однофакторный дисперсионный анализ.

Однофакторный дисперсионный анализ используется в тех случаях, когда есть в распоряжении три или более независимые выборки, полученные из одной генеральной совокупности путем изменения какого-либо независимого фактора, для которого по каким-либо причинам нет количественных измерений.

Для этих выборок предполагают, что они имеют разные выборочные средние и одинаковые выборочные дисперсии. Поэтому необходимо ответить на вопрос, оказал ли этот фактор существенное влияние на разброс выборочных средних или разброс является следствием случайностей, вызванных небольшими объемами выборок. Другими словами если выборки принадлежат одной и той же генеральной совокупности, то разброс данных между выборками (между группами) должен быть не больше, чем разброс данных внутри этих выборок (внутри групп). Пусть: –i– элемент ( ) ,-выборки ( ), гдеm– число выборок,n_k– число данных в-выборке.

Тогда – выборочное среднее-выборки определяется по формуле

. (6.1.1.)

Общее среднее вычисляется по формуле 

, где(6.1.2)

Основное тождество дисперсионного анализа имеет следующий вид:

, (6.1.3)

где Q₁– сумма квадратов отклонений выборочных среднихот общего среднего(сумма квадратов отклонений между группами);

Q₂– сумма квадратов отклонений наблюдаемых значенийот выборочной средней(сумма квадратов отклонений внутри групп);

Q– общая сумма квадратов отклонений наблюдаемых значенийот общего среднего.

Расчет этих сумм квадратов отклонений осуществляется по следующим формулам:

(6.1.4)

(6.1.5)

(6.1.6)

 

В качестве критерия необходимо воспользоваться критерием Фишера:

  . (6.1.7)

 

Если расчетное значение критерия Фишера меньше табличного значения _, то нет оснований считать, что независимый фактор оказывает влияние на разброс средних значений. В противном случае, независимый фактор оказывает существенное влияние на разброс средних значений.(здесь= – уровень значимости, уровень риска, обычно для экономических задач =0,05).

Недостаток однофакторного анализа: невозможно выделить те выборки, которые отличаются от других. Для этой цели необходимо использовать метод Шеффе или проводить парные сравнения выборок. 

6.2. Применение однофакторного анализа.

Пример 6.2.1. Три группы продавцов продавали штучный товар, расфасованный в различные упаковки. После окончания срока распродажи был произведен тестовый контроль над случайно отобранными продавцами из каждой группы. Были получены следующие результаты (табл. 6.1.1).

Т а б л и ц а 6.2.1.

 

Номер группы	Число продаж, которые сделали продавцы,	Общее количество продаж	Количество продавцов, nk
1	1 3 2 1 0 2 1	10	7
2	2 3 2 1 4 - -	12	5
3	4 5 3 - - - -	12	3

 

 

Если число выборок m=3, число продаж во всех выборкахn=15, то:

 

Если

,

,

тогда

Q=104–15·2,226²=26,93 ,

Q₁=91,074–15·2,226²=14,01,

Q₂=Q–Q₁=26,93–14,01=12,92 .

 

Вычислим критерий Фишера

 

Сравнивая это значение с табличным F > F_0,05;2;12 =3,885(приложение 1, таблица 4), делаем вывод, что упаковка (особенно красочная!) влияет на количество распродаж.