4.5. Метод наименьших квадратов (мнк) – общий случай
Кратко остановимся на случае, когда нет уверенности, что все погрешности независимы и имеют одинаковую дисперсию. В этом случае нужно проделать большую работу, выполнив многократные (р раз) измерения yjво всех точках плана эксперимента и построить оценку ковариационной матрицыD погрешностей измерений по следующему правилу:
(4.4.12)
Здесь i и j - номера экспериментальных
точек, k - номера повторных изменений,
- средние поkизмерениям
в i-й (j-й) точке. Видно, что
ii
- оценка дисперсии измерения в i-й
точке (р>>1, поэтому р-1р).
ОбозначивW =
,можно получить [4] следующие формулы
вместо (4.4.4) и (4.4.5):
b = (ATWA)-1ATW y, (4.4.13)
[(ATWA)-1]
ii(4.4.14)
Вообще же матрица (ATWA)-1 является ковариационной матрицей оценок b, т. е. ее недиагональные элементы - оценки коэффициентов ковариации b. ([5], п. 5.2.2). Проверка значимости коэффициентов проводится так же, как в предыдущем случае (по (4.4.6)). Проверку адекватности модели в этом случае можно организовать как проверку гипотезы о том, что «истинное значение» в каждой экспериментальной точке равно рассчитанному по модели (см. приложение П1.3) по критерию Т2.
Легко видеть, что если погрешности yнезависимы и одинаковы, тоD=Sy2I(гдеI- единичная матрица) и (4.4.13), (4.4.14) переходят в (4.4.4), (4.4.5).
Подводя итог этому разделу, перечислим основные этапы решения задачи методом наименьших квадратов.
Формулируем модель, т. е. вид зависимости параметра от факторов.
Выбираем диапазон варьирования факторов (область плана эксперимента).
В этой области выбираем экспериментальные точки, т. е. те значения уровней факторов, при которых ставится эксперимент. При этом желательно придерживаться следующих правил (см. раздел 5):
обязательно делать опыты на границах варьирования факторов;
обязательно делать опыты в центре плана (за исключением случая, когда мы уверены, что в модель входят только линейные по факторам члены и это не нуждается в экспериментальной проверке);
располагать экспериментальные точки симметрично относительно центра плана. В общем случае, имея в своем распоряжении ЭВМ, можно всегда подобрать набор экспериментальных точек, обеспечивающих максимальное значение определителя матрицы (AТA), что, в свою очередь, минимизирует в совокупности [(AТA)-1]ii, при всех i.
Оцениваем дисперсию (ковариационную матрицу) результатов опытов путем повторных измерений при одинаковых условиях.
Проверяем гипотезу о ее диагональности и об однородности дисперсий y (см. приложение 1).
Проводим эксперимент и оцениваем коэффициенты модели по формулам (4.4.4) или (4.4.13).
Оцениваем погрешности коэффициентов по (4.4.5) или (4.4.14).
Проверяем значимость коэффициентов по t-критерию (4.4.6).
Проверяем адекватность модели.
Если в модели много незначимых коэффициентов, ее надо упростить, т. е. уменьшить число искомых величин b. Если модель неадекватна, ее надо усложнить, т. е. добавить новые члены.